卷二十五
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷五
○步日躔
周天分：三百八十六萬八千六十五、秒二。
周天度：三百六十五度。（虛分二千七百一十五、秒二，約分二十五、秒六十四。）
歲差：一百二十五、秒二。
乘法：三十二。
除法：四百八十七。
秒法：一百。
求每日盈縮定數：以乘法乘所入氣升降分，如除法而一，為其氣中平率；與后氣中平率相減，為差率；半差率，加減其氣中平率，為其氣初、末泛率。（至后加為初，減為末；分后減為初，加為末。）又以乘法乘差率，除法而一，為日差；半之，加減初、末泛率，為初、末定率。（至后減初加末，分后加初減末。）以日差累加減氣之定率，為每日升降定率；（至后減，分后加。）以每日升降定率，冬至后升加降減，夏至后升減降加，其氣初日盈縮分，為每日盈縮定數；（其分、至前一氣先后率相減，以前末泛率為其氣初泛率，以半日差，至前加之，分前減之。）為其氣初日定率。余依本術。求朏朒準此。
求經朔弦望入氣：置天正閏日及余，如氣策及余秒以下者，以減氣策及余秒，為入大雪氣；已上者去之，余以減氣策及余秒，為入小雪氣：即得天正十一月經朔入大、小雪氣日及余秒。（求弦、望及后朔入氣，以弦策累加之，滿氣策及余秒去之，即得。）
求定氣日：冬、夏二至以常氣為定。余即以其氣下盈縮分縮加盈減常氣約余為定氣，滿若不足，進退大余，命甲子，算外，即定氣日及分。
求經朔弦望入氣朏朒定數：各以所入氣小余乘其日損益率，如樞法而一，即得。
求赤道宿度
斗：二十六度 牛：八度 女：十二度 虛：十度（及分）
危：十七度 室：十六度 壁：九度
北方七宿九十八度（虛分二千七百一十五、秒二，約分二十五、秒六十四。）
奎：十六度 婁：十二度 胃：十四度 昴：十一度
畢：十七度 觜：一度 參：十度
西方七宿八十一度。
井：三十三度 鬼：三度 柳：十五度 星：七度
張：十八度 翼：十八度 軫：十七度
南方七宿一百一十一度。
角：十二度 亢：九度 氐：十七度 房：五度
心：五度 尾：十八度 箕：十一度
東方七宿七十五度。
前皆赤道度，其畢、觜、參及輿鬼四宿度數與古度不同，自《大衍歷》依渾天儀以測定，為用纮帶天中，儀極是憑，以格黃道。
推天正冬至赤道日度：以歲差乘距所求積年，滿周天分去之，不盡，用減周天分，余以樞法除之為度，不盡為余秒。其度，命以赤道虛宿七度外起算，依宿次去之，不滿者，即得天正冬至加時赤道日躔所距宿度及余秒。（其余以樞法退除為分及秒，各以一百為度。）
求二十四氣赤道日度：置天正冬至加時赤道日度及余秒，以氣策及余秒累加之。（先以三十六乘赤道秒，以一百乘氣策秒，然后加之，即秒母皆同三千六百。）滿赤道宿次去之，即各得二十四氣加時赤道日躔宿度及余秒。
求二十四氣昏后夜半赤道日度：各以其氣小余減樞法，（其秒亦以一百乘，然乃減之。）余加其氣加時赤道日躔宿度及余秒，即其氣初日昏后夜半赤道日度及余秒。（求次日累加一度，滿宿次去之，各得所求。）
求赤道宿積度：置冬至加時日躔赤道宿全度，以冬至加時日躔赤道宿度及約分秒減之，余為距后度及分秒；以赤道宿度累加距后度，即得各赤道宿積度及分秒。
求赤赤道宿積度入初末限：各置赤道宿積度及分秒，滿九十一度三十一分、秒一十一去之，余四十五度六十六分以下為入初之限；已上者，用減九十一度三十一分，余為入末限度及分秒。
求二十八宿黃道度：各置赤道宿入初、末限度及分，用減一百二十五，余以初、末限度及分乘之，十二除為分，分滿百為度，命為黃、赤道差度及分；至后分前以減、分后至前以加赤道宿積度，為其宿黃道積度；以前宿黃道積度減其宿黃道積度，為其宿黃道度及分。（其分就近約為太、半、少。）
黃道宿度
斗：二十三（太） 牛：七（半） 女：十一（半） 虛：十（秒六十四）
危：十七（太） 室：十七 壁：九（少）
北方七宿九十七度。（半、秒六十四）
奎：十七（半） 妻：十二（太） 胃：十四（太） 昴：十一
畢：十六 觜：一 參：九（少）
西方七宿八十二度。
井：三十 鬼：二 柳：十四 星：七
張：十八（太） 翼：十九（少） 軫：十八
南方七宿一百一十度。
角：十三 亢：九（半） 氐：十五（半） 房：五
心：四 尾：十七 箕：十
東方七宿七十四度。
求冬至加時黃道日躔宿次：以冬至加時赤道日躔宿度，用減一百二十五，余以冬至加時赤道度及分乘之，十二除為分，分滿百為度，用減九十一度赤道日度及分，即冬至加時黃道日躔宿度及分。
求二十四氣初日加時黃道日躔宿次：置所求年冬至日躔黃道赤道差，以次年黃赤道差減之，余以所氣數乘之，二十四而一，所得，以加其氣下中積及約分，又以其氣初日盈縮分盈加縮減之，用加冬時黃道日度，依宿次命之，即各得其氣初日加時黃道日躔所在宿度及分。（若其年冬至加時赤道日躔度空，分、秒在歲差已下者，即如前宿全度，乃求黃赤道差，以次年冬至加時黃赤道差減之，余依本術，各得所求。此術以究算理之微，亟求其當，止以盈縮分加減中積，以天正冬至加時黃道日度加而命之。）
求二十四氣初日晨前夜半黃道日躔宿次：置一百分，分以一百約其氣初日升降分，升加降減之，一日所行之分乘其初日約分，所得滿百為分，分滿百為度，不滿百分為秒，以減其初日黃道加時日躔宿次，即其日晨前夜半黃道日躔宿次。
求每日晨前夜半黃道日躔宿次：各因二十四氣初日晨前夜半黃道日躔宿次，日加一度，以一百約每日升降為分秒，升加降減之，以黃道宿次命之，即每日晨前夜半黃道日躔所距宿度及分。
步月離
轉周分：二十九萬一千八百三、秒五百九十四。
轉周日：二十七、余五千八百七十三、秒五百九十四。
朔差日：一、余一萬三百三十五、秒九千四百六。
望差：一十四、余八千一百四、秒五千。
弦策：七、余四千五十二、秒二千五百。
七日：（初數九千四百四十一，初約分八十九；末數一千一百七十九，末約分一十一。）
十四日：（初數八千二百三十二，初約分七十八；末數二千三百五十八，末約分二十二。）
二十一日：（初數七千五十二，初約分六十九；末數三千五百三十八，末約分二十三。）
二十八日：（初數五千八百七十三，初約分五十六。）
已上秒法一萬。
上弦：九十一度三十一分、秒四十一。
望：一百八十二度六十二分、秒八十二。
下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。
平行：一十三度三十六分、秒八十七半。
已上秒母一百。
推天正十一月經朔入轉：置天正十一月經朔積分，以轉周分秒去之，不盡，以樞法除之為日，不滿為余秒，命日，算外，即所求天正十一月經朔加時入轉日及余秒。（若以朔差日及余秒加之，滿轉周日及余秒去之，即次日加時入轉。）
求弦望入轉：因天正十一月經朔加時入轉日及余秒，以弦策累加之，去命如前，即上弦、望及下弦加時入轉日及余秒。若以經朔、弦、望小余減之，各得其日夜半入轉日及余秒。
求朔弦望入轉朏朒）定數：置所入轉余，乘其日損益率，樞法而一，所得，以損益其下朏朒積為定數。其四七日下余如初數下，以初率乘之，初數而一，以損益朏朒為定數。若初數已上者，以初數減之，余乘末率，末數而一，用減初率，馀加朏朒，各為定數。（其十四日下余若在初數已上者，初數減之，余乘末率，末數而一，為朏定數。）
求朔望定日：各以入氣、入轉朏朒定數朏減朒加經朔、弦、望小余，滿若不足，進退大余，命甲子，算外，各得定日及余。若定朔干名與后朔同名者大，不同者小，其月無中氣者為閏月。（凡注歷，觀朔小余，如日入分已上者，進一日，朔或當定，有食應見者，其朔不進。弦、望定小余不滿日出分，退一日，其望定小余雖滿此數，若有交食虧初起在日出已前者，亦如之。有月行九道遲疾，歷有三大二??；若行盈縮累增損之，則有四大三小，理數然也，若俯循常儀，當察加時早晚，隨其所近而進退之，不過三大二小。若正朔有加交，時虧在晦、二正見者，消息前后一兩月，以定大小。）
求定朔弦望加時日所在度：置定朔、弦望約分，副之，以乘其日升降分，一萬約之，所得，升加降減其副，以加其日夜半日度，命如前，各得其日加時日躔黃道宿次。
推月行九道：凡合朔所交，冬在陰歷，夏在陽歷，月行青道；（冬、夏至后，青道半交在春分之宿，當黃道東；立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，當黃道東南：至所沖之宿亦如之。）冬在陽歷，夏在陰歷，月行白道；（冬、夏至后，白道半交在秋分之宿，當黃道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，當黃道西北：至所沖之宿亦如之。）春在陽歷，秋在陰歷，月行朱道；（春、秋分后，朱道半交在夏至之宿，當黃道南；立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，當黃道西南；至所沖之宿亦如之。）春在陰歷，秋在陽歷，月行黑道。（春、秋分后，黑道半交在冬至之宿，當黃道北；立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，當黃道東北：至所沖之宿亦如之。）四序月離雖為八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行有九道。各視月所入正交積度，滿象度及分去之，（入交積度及象度并在交會術中。）若在半象以下者為入初限；已上者，復減象度，余為入末限；用減一百二十五，余以所入初、末限度及分乘之，滿二十四而一為分，分滿百為度，所得，為月行與黃道差數。距半交后、正交前，以差數為減；距正交后、半交前，以差數為加。（此加減出入六度，單與黃道相較之數，若較赤道，則隨氣遷變不常。）計去冬、夏至以來度數，乘黃道所差，九十而一，為月行與赤道差數。凡日以赤道內為陰，外為陽；月以黃道內為陰，外為陽。故月行宿度，入春分交后行陰歷，秋分交后行陽歷，皆為同名；春分交后行陽歷，秋分交后行陰歷，皆為異名。其在同名，以差數加者加之，減者減之；其在異名，以差數加者減之，減者加之。皆以增損黃道宿積度，為九道宿積度；以前宿九道積度減之，為其九道宿度及分。（其分就近約為少、半、太之數。）
推月行九道平交入氣：各以其月閏日及余，加經朔加時入交泛日及余秒，盈交終日去之，乃減交終日及余秒，即各平交入其月中氣日及余秒。滿氣策及余秒去之，余即平交入后月節氣日及余秒。（因求次交者，以交終日及余秒加之，滿氣策及余秒去之，余為平交入其氣日及余秒，若求其氣朏朒定數，如求朔、弦、望經日術入之，各得所求也。）
求平交入轉朏朒定數：置所入氣余，加其日夜半入轉余，以乘其日損益率，樞法而一，所得，以損益其下朏朒積，乃以交率乘之，交數而一，為定數。
求正交入氣：以平交入氣、入轉朏朒定數，朏減朒加平交入氣余，滿若不足，進退其日，即正交入氣日及余秒。
求正交加時黃道宿度：置正交入氣余，副之，以乘其日升降分，一百約之，升加降減其副，乃一百乘之，樞法而一，以加其日夜半日度，即正交加時黃道日度及分秒。
求正交加時月離九道宿度：以正交度及分減一百二十五，余以正交度及分乘之，滿二十四，余為定差。以差加黃道宿度，仍計去冬、夏至以來度數乘差，九十而一，所得，依名同異而加減之，滿若不足，進退其度，命如前，即正交加時月離九道宿度及分。
推定朔、弦、望加時月離所在度：各置其日加時日躔所在，變從九道，循次相當。凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是為加時月離宿次；（先置朔、弦、望加時黃道宿度，以正交加時黃道宿度減之，余以加其正交加時九道宿度，命起正交宿度，算外，即朔、弦、望加時所當九道宿度。其合朔加時若非正交，則日在黃道、月在九道各入宿度，雖多少不同，考其去極，若應繩準，故云月行潛在日下，與太陽同度。）各以弦、望度及分秒加其所當九道宿度，滿宿次去之，命如前，即各得加時九道月離宿次。
求定朔夜半入轉：各視經朔夜半入轉，若定朔大余有進退者，亦加減轉日，不則因經為定。
求次定朔夜半入轉：因定朔夜半入轉，大月加二，小月加一，余皆四千七百一十六、秒九千四百六，滿轉周日及余秒去之，即次定朔夜半入轉；累加一日，去命如前，各得次日夜半轉日及余秒。
求月晨昏度：以晨昏乘其日轉定分，樞法而一，為晨轉分；減轉定分，余為昏轉分；乃以朔、弦、望定小余乘轉定分，樞法而一，為加時分；以減晨昏轉分，余為前；不足覆減，余為后；仍前加后減加時月，即晨、昏月所在度。
求朔、弦、望晨昏定程：各以其朔昏定月減上弦昏定月，為朔后定程；以上弦昏定月減望日昏定月，為上弦后定程；以望日晨定月減下弦晨定月，為望后定程；以下弦晨定月減后朔晨定月，為下弦后定程。
求每日轉定度：累計每程相距日轉定分，以減定程為盈；不足，覆減為縮；以相距日均其盈縮，盈加縮減每日轉定分，為每日轉定度及分。
求每日晨昏月：因朔、弦、望晨昏月，加每日轉定度及分，盈縮次去之，為每日晨昏月。（凡注歷，自朔日注昏，望后次日注晨。）已前月度并依九道所推，以究算理之精微。如求其速要，即依后術求之。
推天正經朔加時平行月：置歲周，以天正閏余減之，余以樞法除之為度，不盡，退除為分秒，即天正經朔加時平行月積度。
求天正十一月定朔夜半平行月：置天正經朔小余，以平行分乘之，樞法而一為度，不盡，退除為分秒，所得，為加時度；用減天正經朔加時平行月，即經朔晨前夜半平行月，（其定朔有進退者，即以平行度分加減之。）即天正十一月定朔晨前夜半平行月積度。
求次定朔夜半平行月：置天正定朔夜半平行月，大月加三十五度八十分、秒六十一，小月加二十二度四十三分、秒七十三半，滿周天度分去之，即每月定朔晨前夜半平行月積度及分。
求定望夜半平行月：計定朔距定望日數，以乘平行度及分秒，所得，加其定朔夜半平行月積度及分，即定望夜半平行月積度及分。
求天正定朔夜半入轉：因天正經朔夜半入轉，若定朔大余有進退者，亦進退之，不則因經而定，即所求年天正定朔晨前夜半入轉及其余；以樞法退除為約分及秒，皆一百為母。
求定望及次定朔夜半入轉：因天正定朔夜半入轉及分秒，以朔望相距日累加之，滿轉周日二十七及分五十五、秒四十六去之，即各得定望及次定朔晨前夜半入轉日及分秒。
求定朔望夜半定月：置定朔、望夜半入轉分，乘其日增減差，一百約之為分，分滿百為度，增減其下遲疾度，為遲疾定度，遲減疾加夜半平行月，為朔望夜半定月；以冬至加時黃道日度加而命之，即朔望夜半月離宿次。（其入轉若在四七日下，如求朏朒術入之，即得所求。）
求朔望定程：以朔定月減望定月，為朔后定程；以望定月減次朔定月，即望后定程。
求朔望轉積：計朔至望轉定分，為朔后轉積；自望至次朔亦如之，為望后轉積。
求每日夜半月離宿次：各以其朔、望定程與轉積相減，余為程差；以距后程日數除之，為日差；加歲轉定分，為每日行度及分；（定程多，加之；定程少，減之。）以每日行度及分累加朔、望夜半宿次，命之，即每日晨前夜半月離宿次。（若求晨昏月，以其日晨昏分乘其日轉定度及分，樞法而一，以加夜半月，即晨昏月所在度及分。若以四象為程，兼求弦日平行積余，各依次入之。若以九終轉定分累加之，依宿次命之，亦得所求。）
步晷漏
二至限：一百八十二、六十二分。
一象：九十一、三十二分。
消息法：七千八百七十三。
辰法：八百八十二半，八刻三百五十三。
昏明刻：一百二十九半。
昏明余數：二百六十四太。
冬至陽城晷景：一丈二尺七寸一分半；初限六十二，末限一百二十六、十二分。
夏至陽城晷景：一尺四寸七分，小分八十；初限一百二十六、十二分，末限六十二。
求陽城晷景入二至后日數：各計入二至后日數，乃如半日之分五十，又以二至約分減之，即入二至后來午中日數及分。
求陽城晷景入初末限定日及分：置其日中入二至后求日數及分，以其日午中入氣盈縮分盈加縮減之，各如初限已下為在初限；已上，覆減二至限，余為入末限定日及分。（求盈縮分，置入二至后來午中日數及分，以氣策及約分除之為氣數，不盡，為入氣以來日數及分；加其氣數，命以冬、夏至，算外，即其日午中所入氣日及分。置所入氣日約分，如出朏朒術入之，即得所求。）
求陽城每日中晷定數：置入二至初、末限定日及分，如冬至后初限、夏至后末限者，以初、末限日及分減一百四十六，余退一等，為定差；又以初、末限日及分自相乘，以乘定差，滿六千六百四十五為尺，不滿，退除為寸分，命曰晷差；以晷差減冬至晷數，即其日陽城午中晷景定數。如冬至后末限、夏至后初限者，以初、末限日及分減一千二百一十七，余再退，為定差；亦以初末限日及分自相乘，以乘定差，滿二萬四千九百三十，余為尺，不滿，退除為寸分，命曰晷差；以晷差加夏至晷數，即其日陽城中晷定數。（若以中積求之，即得每日晷影常數。）
求每日消息定數：以所入氣日及加其氣下中積，一象已下，自相乘；已上者，用減二至限，余亦自相乘，皆五因之，進二位，以消息法除之，為消息常數；副置常數，用減五百二十九半，余乘其副，以二千三百五十除之，加于常數，為消息定數。（冬至后為消，夏至后為息。）
求每日黃道去極度及赤道內外度：置其日消息數，十六乘之，以三百五十三除為度，不滿，退除為分，所得，在春分后加六十七度三十一分，秋分后減一百一十五度三十一分，即每日黃道去極度分度。又以每日黃道去極度及分，與一象度相減，余為赤道內、外度。若去極度少，為日在赤道內；去極度多，為日在赤道外，即各得所求。（其赤道內外度，為黃、赤道相去度分。）
求每日晨昏分日出入分及半晝分：以每日消息定數，春分后加一千八百五十三少，秋分后減二千九百一十二少，各為每日晨分；用減樞法，為昏分。以昏明余數加晨分，為日出分；減昏分，為日入分；以日出分減半法，為晝分。
求每日距中度：置每日晨分，三因，進二位，以八千六百九十八除為度，不滿，退除為分，即距子度；用減半周天，余為距中度；又倍距子度，五除，為每更差度及分。
求夜半定漏：置晨分，進一位，以刻法除為刻，不滿為分，即每日夜半定漏。
求晝夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，為夜刻；減一百刻，余為晝刻。以昏明刻加夜半定漏，命子正，算外，即日出辰刻；以晝刻加之，命如前，即日入辰刻。
求更籌辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，為籌差刻；五乘之，為更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更籌差刻累加之，滿辰刻及分去之，各得每更籌所入辰刻及分。
求每日昏明度：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即昏中星所格宿次；又倍距子度，加昏中星命之，即曉中星所格宿次。
求五更中星：皆以昏中星為初更中星，以每更差加而命之，即乙夜所格宿次；累加之，各得五更中星所格宿次。
求九服距差日：各于所在立表候之，若地在陽城北，測冬至后與陽城冬至晷景同者，累冬至后至其日，為距差日；若地在陽城南，測夏至后與陽城夏至晷景同者，累夏至后至其日，為距差日。
求九服晷景；若地在陽城北冬至前后者，置冬至前后日數，用減距差日，為余日；以余日減一百四十六，余退一等，為定差；以余日自相乘而乘之，滿六千六百四十五除之為尺，不滿，退除為寸分，加陽城冬至晷景，為其地其日中晷常數。若冬至前后日多于距差日，即減去距差日，余依陽城法求之，各其地其日中晷常數。若地在陽城南夏至前后者，以夏至前后日數減距差日，為余日，以減一千二百一十七，余再退，為定差；以余日自相乘而乘之，滿二萬四千九百三十為尺，不滿，退除為寸分，以減陽城夏至晷數，即其地其日中晷常數；如不及減，乃減去陽城夏至日晷景，余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即減去距差日，余依陽城法求之，各其地其日中晷常數。（若求中晷定數，先以盈縮分加減之，乃用法求之，即各得其地其日中晷定數。）
求九服所在晝夜漏刻：冬、夏至各于所在下水漏，以定其處二至夜刻數，相減為冬、夏至差刻。乃置陽城其日消息定數，以其處二至差刻乘之，如陽城二至差刻二十而一，所得，為其地其日消息定數。乃倍消息定數，進一位，滿刻法約之為刻，不滿為分，乃加減其處二至夜刻，（秋分后、春分前，減冬至夜刻；春分后、秋分前，加夏至夜刻。）為其地其日夜刻；用減一百刻，余為晝刻。（求日出入辰刻及距中度五更中星，皆依陽城法。）
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。