卷二十六
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷六
○崇天歷
步交會
交終分：二十八萬八千一百七十七、秒四千二百七十七。
交終日：二十七、余二千二百四十七、秒四千二百七十七。
交中日：一十三、余六千四百一十八、秒七百三十八半。
朔差日：二、余三千三百七十一、秒五千七百二十三。
后限日：一、余一千六百八十五、秒七千八百六十一半。
望策：十四、余八千一百四、秒五十。
前限日：十二、余四千七百三十二、秒九千二百七十七。
交率：一百四十一。
交數：一千七百九十六。
交終度：三百六十三度七十六分。
交象：九十度九十四。
半交：一百八十一度八十八。
陽歷食限：四千二百。
陽歷定法：四百二十。
陰歷食限：七千。
陰歷定法：七百。
推天正十一月經朔加時入交：置天正十一月朔積分，以交終分秒去之，不盡，滿樞法為日，不滿為余秒，即天正經朔加時入交泛日及余秒。
求次朔及望入交：因天正經朔加時入交泛日及余秒，求次朔，以朔差日及余秒加之；求望，以望策及余秒加之：滿交終日及余秒皆去之，即次朔及望加時所入。若以經朔、望小余減之，即各得朔、望夜半入交泛日及余秒。
求定朔夜半入交：因經朔、望夜半入交，若定朔、望大余有進退者，亦進退交日，不則因經為定，各得所求。
求次定朔夜半入交：各因前定朔夜半入交，大月加日二，小月加日一，余皆加八千三百四十二、秒五千七百二十三；若求次日，累加一日：滿交終日及余秒皆去之，即得次定朔及每日夜半入交泛日及余秒。
求朔望加時入交常日：置經朔、望入交泛日及余秒，以其朔、望入氣朏朒定數，朏減朒加之，即朔、望入交常日及余秒。
求朔望加時入交定日：置其朔、望入轉朏朒定數，以交率乘之，如交數而一，所得，以朏減朒加入交常日余，滿若不足，進退其日，即朔、望加時入交定日及余秒。
求月行入陰陽歷：視其朔、望入交定日及余秒，在中日及余秒以下者為月在陽歷；如中日及余秒已上者，減去之，為月在陰歷。（凡入交定日，陽初陰末為交初，陰初陽末為交中。）
求朔望加時月入陰陽歷積度：置其月入陰陽歷日及余，（其余，先以一百乘之，樞法除為約分。）以九百九乘之，六十八除為度，不盡，退除為分，即朔、望加時月入陰陽歷積度及分。（其月在陽歷，即為入陽歷積度；月在陰歷，即為入陰歷積度。）
求朔望加時月去黃道度：置入陰陽歷積度及分，如交象以下為在少象；已上，覆減半交，余為入老象。置所入老少象度及分，以五因之，用減一千一十，余，以老少象度及分乘之，八十四而一，列于上位；又置所入老少象度及分，如半象以下為在初限；已上，減去半象，余為入末限。置初、末限底及分于上，列半象度及分于下，以上減下，余以乘上，四十而一，所得，初限以減，末限以加，上位滿百為度，不滿為分，即朔、望加時月去黃道度數及分。
求食定余：置定朔小余，如半法以下覆加半法，余為午前分；已上，減去半法，余為午后分。置午前、后分于上，列半法于下，以上減下，以下乘上，午前以三萬一千七百七十除，午后以一萬三千八百八十五除之，各為時差。午前以減、午后以加定朔小余，各為食定小余。以時差加午前、后分，為午前、后定分。（其月食，直以定望小余便為食定小余。）
求日月食甚辰刻：置食定小余，以辰法除之為辰數，不滿，進一位，刻法除之為刻，不滿為刻分。其辰數命子正，算外，即食甚辰、刻及分。
求氣差：置其朔中積，滿二至限去之，余在一象以下為在初；已上，覆減二至限，余為在末。皆自相乘，進二位，滿二百三十六除之，用減三千五百三十三，為氣差。以乘距午定分，半晝分而一，所得以減氣差，為定數。（春分后，交初以減，交中以加；秋分后，交初以加，交中以減。）
求刻差：置其朔中積，滿二至限去之，余，列二至限于下，以上減下，余以乘上，進二位，滿二百三十六除之，為刻差以乘距午定分，四因之，樞法而一，為定數。冬至后食甚在午前，夏至后食甚在午后。交初以加，交中以減。冬至后食甚在午后，夏至后食甚在午前。（交初以加，交中以減。）
求日入食限：置入交定日及余秒，以氣、刻、時三差定數各加減之，如中日及余秒以下為不食；已上者，減去中日及余秒，如后限以下、前限已上為入食限；后限以下為交后分；前限以上覆減中日，余為交前分。
求日食分：置入交前后分，如陽歷食限以下者為陽歷食定分；已上者，覆減一萬一千二百，余為陰歷食定分；（不足減者，不食。）各如限陽歷定法而一，為食之大分，不盡，退除為小分，半已上為半強，半以下為半弱。命大分以十為限，得日食之分。
求日食泛用分：置朔入陰陽歷食定分，一百約之，在陽歷者列入十四于下，在陰歷者列一百四十于下，各以上減下，余以乘上，進二位，陽歷以一百八十五除，陰歷以五百一十四除，各為日食泛用分。
求月入食限：視月入陰陽歷日及余，如后限以下為交后分；前限已上覆減中日，為交前分。
求月食分：置交前后分，如三千二百以下者，食既；已上，用減一萬二百，不足減者不食；余以七百除之為大分，不盡，退除為小分，小分半已上為半強，半已下為半弱。命大分以十為限，得月食之分。
求月食泛用分：置望入交前后分，退一等，自相乘，交初以九百三十五除，交中以一千一百五十六除之，得數用減刻率，（交初以一千一百一十一為刻率，交中以九百為刻率。）各得所求。
求日月食定用分：置日月食泛用分，以一千三百三十七乘之，以所食日轉定分除之，即得所求。
求日月食虧初復滿小余：各以定用分減食甚小余，為虧初；加食甚小余，為復滿：即各得虧初復滿小余。（若求時刻者，依食甚術入之。）
求月食更籌定法：置其望晨分，四因之，退一等，為更法；倍之，退一等，為籌法。
求月食入更籌：置虧初、食甚、復滿小余，在晨分以下加晨分，昏分已上減去昏分，余以更法除之為更數，不滿，以籌法除之為籌數。其更數命初更，算外，即各得所入更、籌。
求朔、望食甚宿次：置其經朔、望入氣小余，以入氣、入轉朏朒定數朏減朒加之，乘其日升降分，樞法而一，加減其日盈縮分，（至后、分前以加，分后、至前以減。）一百約之為分，分滿百為度，以盈加縮減其定朔、望加時中積，以天正冬至加時黃道日度及分加而命之，即定朔、望加時日躔宿次。其望加半周天，命如前，即朔、望食甚宿次。
求月食既內外刻分：置月食交前、后分，覆減三千二百，（不及減者，為食下既。）一百約之，列六十四于下，以上減下，余以乘上，進二位，交初以二百九十三除，交中以三百六十五除，所得，以定用分乘之，如泛用分而一，為月食既內刻分；覆減定用分，即既外刻分。
求日月帶食出入分數：各以食定小余與日出、入分相減，余為帶食差；（其帶食差滿定用分已上者，不帶食出入也。）以帶食差乘所食分，滿定用分而一，（若月食既者，以既內刻分減帶食差，余所食分，以既外刻分而一，不及減者，為帶食既出入也。）各以減所食分，即帶出、入所見之分。（其朔日食甚在晝者，晨為漸進之分，昏為已退之分；若食甚在夜者，晨為已退之分，昏為漸進之分。其月食者，見此可知也。）
求日食所起：日在陰歷，初起西北，甚于正北，復于東北；日在陽歷，初起西南，甚于正南，復于東南。其食八分已上者，皆起正西，復于正東。（此據午地而論之，其余方位，審黃道斜正、月行所向，可知方向。）
求月食所起：月在陰歷，初起東南，甚于正南，復于西南；月在陽歷，初起東北，甚于正北，復于西北。其食八分已上，皆起正東，復于正西。（此亦據午地而論之，其余方位，依日食所向，即知既虧、復滿。）
步五星
五星會策：十五度（二十一分、秒九十。）
木星周率：四百二十二萬四千五十八、秒三十二。
周日：三百九十八、余九千二百三十八、秒三十二。
歲差：一百三、秒六。
伏見度：一十三。
木星盈縮歷火星周率：八百二十五萬九千三百六十六、秒五十九。
周日：七百七十九、余九千七百五十六、秒五十九。
歲差：一百三、秒五十三。
伏見度：二十。
火星盈縮歷
土星周率：四百萬三千八百七十二、秒三十九。
周日：三百七十八、余八百五十二、秒三十九。
歲差：一百三、秒七十八。
伏見度：一十六。
土星盈縮歷金星周率：六百一十八萬三千五百九十九、秒一十六。
周日：五百八十三、余九千六百二十九、秒一十六。
歲差：一百三十、秒八十。
夕見晨伏度：一十一。
晨見夕伏度：九。
金星盈縮歷
水星周率：一百二十二萬七千一百七十、秒二十八。
周日：一百一十五、余九千三百二十、秒二十八。
歲差：一百三、秒九十四。
夕見晨伏度：一十四。
晨見夕伏度：二十一。
水星盈縮歷
推五星天正冬至后諸變中積中星：置氣積分，各以其星周率去之，不盡，覆減周率，余滿樞法除之為日，不滿，退除為分，即天正冬至后平合中積；命之，積平合中星，以諸段變日、變度累加之，即諸變中積中星。（其經退行者，即其變度；累減之，即其星其變中星。）
求五星諸變入歷：以其星歲差乘積年，滿周天分去之，不盡，以樞法除之為度，不滿，退除為分，以減其星平合中星，即平合入歷；以其星其變限度依次加之，各得其星諸變入歷度分。
求五星諸變盈縮定差：各置其星其變入歷度分，半周天以下為在盈；以上，減去半周天，余為在縮。置盈縮限度及分，以五星會策除之為會數，不盡，為入會度及分；以其會下損益率乘之，會策除之為分，分滿百為度，以損益其下盈縮積度，即其星其變盈縮定差。（若用立成者，以其所入會度下差而用之。）其木火土三星后退、后留者，置盈縮差，各列其星盈縮極度于下，皆以上減下，余以乘上，八十七除之，所得，木、土三因，火直用之；在盈益減損加、在縮益加損減其段盈縮差，為后退、后留定差，（因為后遲初段定差。各須類會前留定差，觀其盈縮初末，審察降殺，皆裒多益少而用之。）
求五星諸變定積：各置其星其變中積，以其變盈縮定差盈加縮減之，即其星其變定積及分；以天正冬至大余及分加之，即其星其變定日及分；以紀法去定日，不盡，命甲子，算外，即得日辰。
求五星諸變在何月日：各置諸變定日，以其年天正經朔大余及分減之，（若冬至大余少，加經朔大余者，加紀法乃減之。）余以朔策及分除之為月數，不滿，為入月日數及分。其月數命以天正十一月，算外，即其星其變入其月經朔日數及分。（若置定積，以天正閏月及分加之，朔策除為月數，亦得所求。）
求五星諸變入何氣日：置定積，以氣策及約分除之為氣數，不盡，為入氣已來日數及分。其氣數命起天正冬至，算外，即五星諸變入其氣日及分。（其定積滿歲周日及分即去之，余在來年天正冬至后。）
求五星諸變定星：各置其變中星，以其變盈縮定差盈加縮減之，（其金、水二星，金以倍之，水以三之，乃可加減。）即五星諸變定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其星其變加時定星宿次及分。（五星皆以前留為前退初日定星，后留為后遲初日定星。）
求五星諸變初日晨前夜半定星：以其星其變盈縮所入會度下盈縮積度與次度下盈縮積度相減，余為其度損益分；乘其變初行率，一百約之，所得，以加減其日初行率，（在盈，益加損減；在縮，益減損加。）為初行積率；又置一百分，亦依其數加減之，以除初行積率，為初日定行率；以乘其率初日約分，一百約之，順減退加其日加時定星，為其變晨前夜半定星；加冬至時日度命之，即所在宿次。
求諸變日度率：置后變定日，以其變定日減之，余為其變日率；又置后變夜半定星，以其變夜半定星及分減之，余為其變度率及分。
求諸變平行分：各置其變度率及分，以其變日率除之為平行分，不滿，退除為秒，即各得平行度及分秒。
求諸變總差：各以其段平行分與后段平行分相減，余為泛差；并前段泛差，四因之，九而一，為總差。若前段無平行分相減為泛差者，（各因后段初日行分與其段平行分相減，為半總差；倍之，為總差。）若后段無平行分相減為泛差者，（各因前段末日行分與其段平行分相減，為半總差。）其前后退行者，各置本段平行分，十四乘，十五除，為總差。（其金星夕退、夕伏、再合、晨退，各依順段術入之，即得所求。）
求諸段初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，（后段行分多者，減之為初，加之為末；后段行分少者，加之為初，減之為末。）即各得其星其段初、末日行度及分秒。（凡前后段平行分俱多或俱少，乃平注之；及本段總差不滿大分者，亦平注之。其退行段，各以半總差前變減之為初，加之為末；后變加之為初，減之為末。）
求每日晨前夜半星行宿次：置其段總差，減其段日率，以除之，為日差；以日差累損益初日行分，（后段行分少，日損之；后段行分多，日益之。）為每日行度及分；以每日行度及分累加其星其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。（遇退行者，以每日行分累減之，即得所求。）
徑求其日宿次：置所求日，減一，日差乘之，加減初日行分，（后行分少，即減之；后行分多，即加之。）為所求日行分；加日行分而半之；以所求日乘之，為徑求積度；加減其星初日宿次；命之，即其日星行宿次。
求五星定合日定星：以其星平合初日行分減一百分，余以約其日太陽盈縮分為分，分滿百為日，不滿為分，命為距合差日；以盈縮分減之，為距合差度；以差日、差度縮加盈減平合定積、定星，為其星定合日定積、定星。（其金、水二星，以一百分減初日行分，余以除其日太陽盈縮分，為距合差日；以盈縮分加之，為距合差度；以差日、差度盈加縮減之。）金、水二星退合者，（以初日行分加一百分，以除太陽盈縮分，為距合差日；以距合差日減盈縮分，為距合差度；以差日、差度盈減縮加再合定積定星為其星再合定日定積定星。）其金、水二星定積，（各依見伏術，先以盈縮差求其加減訖，然后以距合差日、差度加減之。）
求木火土三星晨見夕伏定日：各置其星其段定積，乃加減一象度，（晨見加之，夕伏減之。）半周天已下自相乘，半周天已上，覆減周天度及分，余亦自相乘，一百約為分，以其星伏見度乘之，十五除之，為差；乃以其段初日行分覆減一百分，余以除其差為日，不滿，退除為分，所得，以加減定積，（晨見加之，夕伏減之。）各得晨見、夕伏定積；加天正冬至大余及分，命甲子，算外，即得日辰。
求金水二星夕見晨伏定日：各置其星其段定積，其定積先倍其段盈縮差，縮加盈減之，乃加減一象度，（夕見減之，晨伏加之。）半周天已下自相乘，已上，覆減周天度，余亦自相乘，一百約為分，以其星伏見度乘之，十五除為差；乃置其段初日行分，減去一百分，余以除其差為日，不滿，退除為分，所得，以加減定積，（夕見加之，晨伏減之。）各得夕見、晨伏定積。
求金水二星晨見夕伏定日：置其星其段定積，其定積先以一百乘其段盈縮差，乃以一百分加其日行分，以除其差，所得，盈加縮減之，加減一象度，（晨見加之，夕伏減之。）半周天已下自相乘，已上，覆減周天度，余亦自相乘，一百約為分，以其星伏見度乘之，十五除，為差；乃置其段初日行分，如一百，以除其差為日，不滿，退除為分，所得，以加減定積，（晨見加之，夕伏減之。）各為其星晨見、夕伏定積。
歷既成，以來年甲子歲用之，是年五月丁亥朔，日食不效，（算食二分半，候之不食。）詔候驗。至七年，命入內都知江德明集歷官用渾儀較測。時周琮言："古之造歷，必使千百年間星度交食，若應繩準，今歷成而不驗，則歷法為未密。"又有楊皞、于淵者，與琮求較驗，而皞術于木為得，淵于金為得，琮于月、土為得，詔增入《崇天歷》，其改用率數如后：
周天分：三百八十六萬八千六十六、秒一十七。
周天：三百六十五度。（虛分二千七百一十六、秒十七，約分二十五、秒六十一。）
歲差：一百二十六、秒一十七。
木星
求諸變總差：各以其段平行分與后段平行分相減，余為泛差；并前段泛差，四因之，退一等，為總差。若前段無平行分相減為泛差，（各因后段初日行分與其段平行分相減，為半總差；倍之，為總差。）若后段無平行分相減為泛差者，（各因前段末日行分與其段平行分相減，為半總差；倍之，為總差。）其前后退行者，各置本段平行分，十四乘，十五除，為總差。（其金星夕退、夕伏、再合、晨退，各依順段術入之，即得所求。）
求五星定合及見伏泛用積：其木、火、土三星，各以平合及前疾、后伏定積為泛用積，金、水二星平合及夕見、晨伏者，（置其星其段盈縮差，金以倍之，水以三之，列于上位；又置盈縮差，以其段初行率乘之，退二等，以減上位；又置初行率，減去一百分，余以除之為日，不滿，退除為分，乃盈減縮加中積，為其星其變泛用積。）金、水二星再合及夕伏、晨見者，（其星其段盈縮差，金星直用，水以倍之，進二位，以其段初行率加一百分以除之，所得，并盈縮差，以盈加縮減中積，為其星其段泛用積。）
求五星定合定積定星：其木、火、土三星平合者，（以平合初日行分減一百分，余以約其日太陽盈縮分為分，滿百為日，不滿為分，命為距合差日；以盈縮分減之，為距合差度；以差日、差度縮加盈減其星平合泛用積，為其星定合日定積定星。）金、水二星平合者，（以一百分減初日行分，余以除其日太陽盈縮分，為距合差日；以盈縮分加之，為距合差度；以差日、差度盈加縮減平合泛用積，為其星定合日定積定星也。）金、水二星退合者，（以初日行分一百分，以除太陽盈縮分，為距合差日；以距合差日減盈縮分，為距合差度；以差日盈減縮加再合泛用積，為其星再合定日定積差度；盈加縮減再合泛用積，為其星再合日定星；各加冬至大、小余及黃道加時日躔宿次命之，即得其日日辰及宿次。）
求木火土星晨見夕伏定用積：各置其星其段泛用積，乃加減一象度，（晨見加之，夕伏減之。）半周天已下自相乘，已上，覆減周天度，余亦自相乘，各二因百約之，在一百六十七已上，以一百約其日太陽盈縮分減之，不滿一百六十七者即加之，以其星本伏見度乘之，十五除，為差；乃置其段初日行分，覆減一百分，余以除其差為日，不滿，退除為分所得，以加減泛用積，（晨見加之，夕伏減之。）各得其星晨見、夕伏定用積；加天正冬至大余，命甲子，算外，即得日辰。
求金水二星夕見晨伏定用積：各置其星其段泛用積，乃加減一象度，（夕見減之，晨伏加之。）半周天已下自相乘，已上，覆減周天度，余亦自相乘，二因百約之，滿一百六十七已上，以一百約太陽盈縮分減之，不滿一百六十七者即加之，以其星本伏見度乘之，十五除，為差；乃置其段初日行分，減去一百分，余以除其差為日，不滿，退除為分所得，以加減泛用積，（晨見加之，夕伏減之。）各得夕見、晨伏定用積；加命如前，即得日辰。
求金水二星晨見夕伏定用積：各置其星其段泛用積，乃加減一象度，（晨見加之，夕伏減之。）半周天以下自相乘，已上，覆減周天度，余亦自相乘，二因百約之，在一百六十七已上，以百約太陽盈縮分減之，不滿一百六十七者即加之，以其星本伏見度乘之，十五除，為差；金星者，直以一百除其差為日，不滿，退除為分，所得，以加減泛用積，（晨見加之，夕伏減之。）各為其星晨見、夕伏定用積；加命如前，即得日辰。
景祐元年七月，日官張奎言："自今月朔或遇節首，勿避。"詔中書集歷官參議，而丁慎言請如舊制。有詔卒從奎議。
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。