卷二十八
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷八
○明天歷
步晷漏術
二至限：一百八十一日六十二分。
一象度：九十一度三十一分。
消息法：一萬六百八十九。
辰法：三千二百五十。
刻法：三百九十。
半辰法：一千六百二十五。
昏明刻分：九百七十五。
昏明：二刻一百九十五分。
冬至岳臺晷景常數：一丈二尺八寸五分。
夏至岳臺晷景常數：一尺五寸七分。
冬至后初限、夏至后末限：四十五日六十二分。
夏至后初限、冬至后末限：一百三十七日。
求岳臺晷景入二至后日數：計入二至后來日數，以二至約余減之，仍加半日之分，即為入二至后來日午中積數及分。
求岳臺晷景午中定數：置所求午中積數，如初限以下者為在初；已上者，覆減二至限，余為在末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日減一千九百三十七半，為泛差；仍以入限日分乘其日盈縮積，（盈縮積在日度術中。）五因百約之，用減泛差，為定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，滿一百萬為尺，不滿為寸、為分及小分，以減冬至常晷，余為其日午中晷景定數。若所求入冬至后末限、夏至后初限者，乃三約入限日分，以減四百八十五少，余為泛差；仍以盈縮差減極數，余者若在春分后、秋分前者，直以四約之，以加泛差，為定差；若春分前、秋分后者，以去二分日數及分乘之，滿六百而一，以減泛差，余為定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，滿一百萬為尺，不滿為寸、為分及小分，以加夏至常晷，即為其日午中晷景定數。
求每日消息定數：置所求日中日度分，如在二至限以下者為在息；以上者去之，余為在消。又視入消息度加一象以下者為在初；以上者，覆減二至限，余為在末。其初、末度自相乘，以一萬乘而再折之，滿消息法除之，為常數。乃副之，用減一千九百五十，余以乘其副，滿八千六百五十除之，所得以加常數，為所求消息定數。
求每日黃道去極度及赤道內外度：置其日消息定數，以四因之，滿三百二十五除之為度，不滿，退除為分，所得，在春分后加六十七度三十一分，在秋分后減一百一十五度三十一分，即為所求日黃道去極度及分。以黃道去極度與一象度相減，余為赤道內、外度。若去極度少，為日在赤道內；若去極度多，為日在赤道外。
求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定數，春分后加六千八百二十五，秋分后減一萬七百二十五，余為所求日晨分；用減元法，余為昏分。以昏明分加晨分，為日出分；減昏分，為日入分。
求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，滿七萬四千七百四十二除為度，不滿，退除為分，命曰距子度；用減半周天，余為距中度。（若倍距子度，五除之，即為每更差度及分。若依司辰星漏歷，則倍距子度，減去待旦三十六度五十二分半，余以五約之，即每更差度。）
求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之為刻，不滿為分，即所求日夜半定漏。
求每日晝夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，為夜刻。用減一百刻，余為晝刻。以昏明刻加夜半定漏，滿辰法除之為辰數，不滿，刻法除之為刻，又不滿，為刻分。命辰數從子正，算外，即日出辰刻；以晝刻加之，命如前，即日入辰刻。（若以半辰刻加之，即命從辰初也。）
求更點辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，為點差刻；五因之，為更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更點差刻累加之，滿辰刻及分去之，各得更點所入辰刻及分。（若同司辰星漏歷者，倍夜半定漏，減去待旦一十刻，余依術求之，即同內中更點。）
求昏曉及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便為初更中星；以每更差度加而命之，即乙夜所格中星；累加之，得逐更中星所格宿次。又倍距子度，加昏中星命之，即曉中星所格宿次。（若同司辰星漏歷中星，則倍距子度，減去待旦十刻之度三十六度五十二分半，余約之為五更，即同內中更點中星。）
求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳臺北，測冬至后與岳臺冬至晷景同者，累冬至后至其日，為距差日；若地在岳臺南，測夏至后與岳臺晷景同者，累夏至后至其日，為距差日。
求九服晷景：若地在岳臺北冬至前后者，以冬至前后日數減距差日，為余日；以余日減一千九百三十七半，為泛差；依前術求之，以加岳臺冬至晷景常數，為其地其日中晷常數。若冬至前后日多于距差日，乃減去距差日，余依前術求之，即得其地其日中晷常數。若地在岳臺南夏至前后者，以夏至前后日數減距差日，為余日；乃三約之，以減四百八十五少，為泛差；依前術求之，以減岳臺夏至晷景常數，即其地其日中晷常數。如夏至前后日數多于距差日，乃減岳臺夏至常晷，余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即減去距差日，余依前術求之，各得其地其日中晷常數。（若求定數，依立成以求午中晷景定數。）
求九服所在晝夜漏刻：冬、夏二至各于所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相減，余為冬、夏至差刻。置岳臺其日消息定數，以其地二至差刻乘之，如岳臺二至差刻二十而一，所得，為其地其日消息定數。乃倍消息定數，滿刻法約之為刻，不滿為分，乃加減其地二至夜刻，（秋分后、春分前，減冬至夜刻；春分后、秋分前，加夏至夜刻。）為其地其日夜刻；用減一百刻，余為晝刻。（其日出入辰刻及距中度五更中星，并依前術求之。）
步月離術
轉度母：八千一百一十二萬。
轉終分：二百九十八億八千二百二十四萬二千二百五十一。
朔差：二十一億四千二百八十八萬七千。
朔差：二十六度。（余三千三百七十六萬七千，約余四千一百六十二半。）
轉法：一十億八千四百四十七萬三千。
會周：三百二十億二千五百一十二萬九千二百五十一。
轉終：三百六十八度。（余三十八萬二千二百五十一，約余三千七百八。）
轉終：二十七日。（余六億一百四十七萬一千二百五十一，約余五千五百四十六。）
中度：一百八十四度。（余一千五百四萬一千一百二十五半，約余一千八百五十四。）
象度：九十二度。（余七百五十二萬五百六十二太，約分九百二十七。）
月平行：十三度。（余二千九百九十一萬三千，約分三千六百八十七半。）
望差：一百九十七度。（余三千一百九十二萬四千六百二十五半，約分三千九百三十四。）
弦差：九十八度。（余五千六百五十二萬二千三百一十二太，約分六千九百六十七。）
日衰：一十八、小分九。
求月行入轉度：以朔差乘所求積月，滿轉終分去之，不盡為轉余。滿轉度母除為度，不滿為余，（其余若以一萬乘之，滿轉度母除之，即得約分；若以轉法除轉余，即為入轉日及余。）即得所求月加時入轉度及余。（若以弦度及余累加之，即得上弦、望、下弦及后朔加時入轉度及分；其度若滿轉終度及余去之。）其入轉度如在中度以下為月行在疾歷；如在中度以上者，乃減去中度及余，為月入遲歷。
求月行遲疾差度及定差：置所求月行入遲速度，如在象度以下為在初。以上，覆減中度，余為在末。（其度余用約分百為母。）置初、末度于上，列二百一度九分于下，以上減下，余以下乘上，為積數；滿一千九百七十六除為度，不滿，退除為分，命曰遲疾差度。（在疾為減，在遲為加。）以一萬乘積數，滿六千七百七十三半除之，為遲疾定差。（疾加、遲減，若用立成者，以其度下損益率乘度余，滿轉度母而一，所得，隨其損益，即得遲疾及定差。其遲疾、初末損益分為二日者，各加其初、末以乘除。）
求朔弦望所直度下月行定分：置遲疾所入初、末度分，進一位，滿七百三十九除之，用減一百二十七，余為衰差。乃以衰差疾初遲末減、遲初疾末加，皆加減平行度分，為其度所直月行定分。（其度以百命為分。）
求朔弦望定日：各以日躔盈縮、月行遲疾定差加減經朔、弦、望小余，滿若不足，進退大余，命甲子，算外，各得定日日辰及余。若定朔干名與后朔干名同者月大，不同月小，月內無中氣者為閏月。（凡注歷，觀定朔小余，秋分后四分之三已上者，進一日；若春分后，其定朔晨分差如春分之日者，三約之，以減四分之三；如定朔小余及此數已上者，進一日；朔或當交有食，初虧在日入已前者，其朔不進。弦、望定小余不滿日出分者，退一日；其望或當交有食，初虧在日出已前，其定望小余雖滿日出分者，亦退之。又月行九道遲疾，歷有三大二小；日行盈縮累增損之，則有四大三小，理數然也。若循其常，則當察加時早晚，隨其所近而進退之，使月之大小不過連三。舊說，正月朔有交，必須消息前后一兩月，移食在晦、二之日。且日食當朔，月食當望，蓋自然之理。夫日之食，蓋天之垂誡，警悟時政，若道化得中，則變咎為祥。國家務以至公理天下，不可私移晦朔，宜順天誡。故《春秋傳》書日食，乃糾正其朔，不可專移食于晦、二。其正月朔有交，一從近典，不可移避。）
求定朔弦望加時日度：置朔、弦、望中日及約分，以日躔盈縮度及分盈加縮減之，又以元法退除遲疾定差，疾加遲減之，余為其朔、弦、望加時定日。以天正冬至加時黃道日度加而命之，即所求朔、弦、望加時定日所在宿次。（朔、望有交，則依后術。）
求月行九道：凡合朔所交，冬在陰歷，夏在陽歷，月行青道。（冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，當黃道東。立夏、立冬后，青道半交在立春之宿，當黃道東南；至所沖之宿亦如之。）冬在陽歷，夏在陰歷，月行白道。（冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，當黃道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，當黃道西北；至所沖之宿亦如之。）春在陽歷，秋在陰歷，月行朱道。（春分、秋分后，朱道交在夏至之宿，當黃道南；立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，當黃道西南：至所沖之宿亦如之。）春在陰歷，秋在陽歷，月行黑道。（春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，當黃道正北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，當黃道東北；至所沖之宿亦如之。）四序離為八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行九道。各視月所入正交積度，（視正交九道宿度所入節候，即其道、其節所起。）滿象度及分去之余，（入交積度及象度并在交會術中。）若在半象以下為在初限。以上，覆減象度及分，為在末限。用減一百一十一度三十七分，余以所入初、末限度及分乘之，退位，半之，滿百為度，不滿為分，所得為月行與黃道差數。距半交后、正交前，以差數減；距正交后、半交前，以差數加。（此加減出入六度，單與黃道相較之數，若較之赤道，隨數遷變不常。）計去二至以來度數，乘黃道所差，九十而一，為月行與黃道差數。凡日以赤道內為陰，外為陽；月以黃道內為陰，外為陽。故月行宿度，入春分交后行陰歷，秋分交后行陽歷，皆為同名；若入春分交后行陽歷，秋分交后行陰歷，皆為異名。其在同名，以差數加者加之，減者減之；其在異名，以差數加者減之，減者加之。皆加減黃道宿積度，為九道宿積度；以前宿九道宿積度減其宿九道宿積度，余為其宿九道宿度及分。（其分就近約為太、半、少三數。）
求月行九道入交度：置其朔加時定日度，以其朔交初度及分減之，余為其朔加時月行入交度及余。（其余以一萬乘之，以元法退除之，即為約余。）以天正冬至加時黃道日度加而命之，即正交月離所在黃道宿度。
求正交加時月離九道宿度：以正交度及分減一百一十一度三十七分，余以正交度及分乘之，退一等，半之，滿百為度，不滿為分，所得，命曰定差。以定差加黃道宿度，計去冬、夏至以來度數，乘定差，九十而一，所得，依同異名加減之，滿若不足，進退其度，命如前，即正交加時月離九道宿度及分。
求定朔弦望加時月離所在宿度：各置其日加時日躔所在，變從九道，循次相加。凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是為加時月離宿次。（先置朔、弦、望加時黃道宿度，以正交加時黃道宿度減之，余以加其正交加時九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加時所當九道宿度。其合朔加時若非正近，則日在黃道、月在九道各入宿度，雖多少不同，考其去極，若應繩準。故云月行潛在日下，與太陽同度。）各以弦、望度及分加其所當九道宿度，滿宿次去之，各得加時九道月離宿次。
求定朔夜半入轉：以所求經朔小余減其朔加時入轉日余，（其經朔小余，以二萬七千八百七乘之，即母轉法。）為其經朔夜半入轉。若定朔大余有進退者，亦進退轉日，無進退則因經為定。（其余以轉法退收之，即為約分。）
求次月定朔夜半入轉：因定朔夜半入轉，大月加二日，小月加一日，余、分皆加四千四百五十四，滿轉終日及約分去之，即次月定朔夜半入轉；累加一日，去命如前，各得逐日夜半入轉日及分。
求定朔弦望夜半月度：各置加時小余，（若非朔、望有交者，有用定朔、弦、望小余。）以其日月行定分乘之，滿元法而一為度，不滿，退除為分，命曰加時度。以減其日加時月度，即各得所求夜半月度。
求晨昏月：以晨分乘其日月行定分，元法而一，為晨度；用減月行定分，余為昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。
求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月減上弦昏定月，余為朔后昏定程；以上弦昏定月減望昏定月，余為上弦后昏定程；以望晨定月減下弦晨定月，余為望后晨定程；以下弦晨定月減次朔晨定月，余為下弦后晨定程。
求轉積度：計四七日月行定分，以日衰加減之，為逐日月行定程；乃自所入日計求定之，為其程轉積度分。（其四七日月行定分者，初日益遲一千二百一十，七日漸疾一千三百四十一，十四日損疾一千四百六十一，二十一日漸遲一千三百二十八，乃觀其遲疾之極差而損益之，以百為分母。）
求每日晨昏月：以轉積度與晨昏定程相減，余以距后程日數除之，為日差。（定程多為加，定程少為減。）以加減每日月行定分，為每日轉定度及分。以每日轉定度及分加朔、弦、望晨昏月，滿九道宿次去之，即為每日晨、昏月離所在宿度及分。（凡注歷，朔后注昏，望后注晨。）已前月度，并依九道所推，以究算術之精微。若注歷求其速要者，即依后術以推黃道月度。
求天正十一月定朔夜半平行月：以天正經朔小余乘平行度分，元法而一為度，不滿，退除為分秒，所得，為經朔加時度。用減其朔中日，即經朔晨前夜半平行月積度。（若定朔有進退，以平行度分加減之。）即為天正十一月定朔之日晨前夜半平行月積度及分。
求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，滿周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月積度及分秒。
求定弦望夜半平行月、計弦、望距定朔日數，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月積度及分秒，即定弦、望之日夜半平行月積度及分秒。（亦可直求朔望，不復求度，從簡易也。）
求天正定朔夜半入轉度：置天正經朔小余，以平行月度及分乘之，滿元法除為度，不滿，退除為分秒，命為加時度；以減天正十一月經朔加時入轉度及約分，余為天正十一月經朔夜半入轉度及分。若定朔大余有進退者，亦進退平行度分，即為天正十一月定朔之日晨前夜半入轉度及分秒。
求次月定朔及弦望夜半入轉度：因天正十一月定朔夜半入轉度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入轉度及分。各以朔、弦、望相距日數乘平行度分以加之，滿轉終度及秒即去之，如在中度以下者為在疾；以上者去之，余為入遲歷，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入轉度及分。（若以平行月度及分收之，即為定朔、弦、望入轉日。）
求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入轉度分乘其度損益衰，以一萬約之為分，百約之為秒，損益其度下遲疾度，為遲疾定度。乃以遲加疾減夜半平行月，為朔、弦、望夜半定月積度。以冬至加時黃道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月離所在宿次。（若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得為晨昏度；以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。）
求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相減，余為定程。（若求晨昏定程，則用晨昏定月相減，朔后用昏，望后用晨。）
求朔弦望轉積度分：計四七日月行定分，以日衰加減之，為逐日月行定分；乃自所入日計之，為其程轉積度分。（其四七日月行定分者，初日益遲一千二百一十，七日漸疾一千三百四十一，十四日損疾一千四百六十一，二十一日漸遲一千三百二十八，乃視其遲疾之極差而損益之，分以百為母。）
求每日月離宿次：各以其朔、弦、望定程與轉積度相減，余為程差。以距后程日數除之，為日差。（定程多為益差，定程少為損差。）以日差加減月行定分。為每日月行定分；以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月離宿次。（如晨昏宿次，即得每日晨昏月度。）
步交會術
交度母：六百二十四萬。
周天分：二十二億七千九百二十萬四百四十七。
朔差：九百九十萬一千一百五十九。
朔差：一度、余三百六十六萬一千一百五十九。
望差：空度、余四百九十五萬五百七十九半。
半周天：一百八十二度。（余三百九十二萬二百二十三半，約分六千二百八十二。）
日食限：一千四百六十四。
月食限：一千三百三十八。
盈初限縮末限：六十度八十七分半。
縮初限盈末限：一百二十一度七十五分。
求交初度：置所求積月，以朔差乘之，滿周天分去之，不盡，覆減周天分，滿交度母除之為度，不滿為余，即得所求月交初度及余；以半周天加之，滿周天去之，余為交中度及余。（若以望差減之，即得其月望交初度及余；以朔差減之，即得次月交初度及余；以交度母退除，即得余分。若以天正黃道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。）
求日月食甚小余及加時辰刻：以其朔、望月行遲疾定差疾加遲減經朔望小余，（若不足減者，退大余一，加元法以減之；若加之滿元法者，但積其數。）以一千三百三十七乘之，滿其度所直月行定分除之，為月行差數；乃以日躔盈定差盈加縮減之，余為其朔、望食甚小余。（凡加減滿若不足，進退其日，此朔望加時以究月行遲疾之數，若非有交會，直以經定小余為定。）置之，如前發斂加時術入之，即各得日、月食甚所在晨刻。（視食甚小余，如半法以下者，覆減半法，余為午前分；半法已上者，減去半法，余為午后分。）
求朔望加時日月度：以其朔、望加時小余與經朔望小余相減，余以元法退收之，以加減其朔、望中日及約分，（經朔望少，加；經朔望多，減。）為其朔、望加時中日。乃以所入日升降分乘所入日約分，以一萬約之，所得，隨以損益其日下盈縮積，為盈縮定度；以盈加縮減加時中日，為其朔、望加時定日；望則更加半周天，為加時定月；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即得所求朔、望加時日月所在宿度及分。
求朔望日月加時去交度分：置朔望日月加時定度與交初、交中度相減，余為去交度分。（就近者相減之，其度以百通之為分。）加時度多為后，少為前，即得其朔望去交前、后分。（交初后、交中前，為月行外道陽歷；交中后、交初前，為月行內道陰歷。）
求日食四正食差定數：置其朔加時定日，如半周天以下者為在盈。以上者去之，余為在縮。視之，如在初限以下者為在初。以上者，覆減二至限，余為在末。置初、末限度及分，（盈初限、縮末限者倍之。）置于上位，列二百四十三度半于下，以上減下，余以下乘上，以一百六乘之，滿三千九十三除之，為東西食差泛數。用減五百八，余為南北食差泛數。其求南北食差定數者，乃視午前、后分，如四分法之一以下者覆減之，余以乘泛數。若以上者即去之，余以乘泛數，皆滿九千七百五十除之，為南北食差定數。盈初縮末限者，（食甚在卯酉以南，內減外加；食甚在卯酉以北，內加外減。）縮初盈末限者，（食甚在卯酉以南，內加外減；食甚在卯酉以北，內減外加。）其求東西食差定數者，乃視午前、后分，如四分法之一以下者以乘泛數；以上者，覆減半法，余乘泛數，皆滿九千七百五十除之，為東西食差定數。盈初縮末限者，（食甚在子午以東，內減外加；食甚在子午以西，內加外減。）縮初盈末限者，（食甚在子午以東，內加外減；食甚在子午以西，內減外加。）即得其朔四正食差加減定數。
求日月食去交定分：視其朔四正食差，加減定數，同名相從，異名相消，余為食差加減總數；以加減去交分，余為日食去交定分。（其去交定分不足減、乃覆減食差總數、若陽歷覆減入陰歷，為入食限；若陰歷覆減入陽歷，為不入食限。凡加之滿食限以上者，亦不入食限。）其望食者，以其望去交分便為其望月食去交定分。
求日月食分：日食者，視去交定分，如食限三之一以下者倍之，類同陽歷食分。以上者，覆減食限，余為陰歷食分。皆進一位，滿九百七十六除為大分，不滿，退除為小分，命十為限，即日食之大、小分。月食者，視去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆減食限。余進一位，滿八百九十二除之為大分，不滿，退除為小分，命十為限，即月食之大、小分。（其食不滿大分者，雖交而數淺，或不見食也。）
求日食泛用刻分：置陰、陽歷食分于上，列一千九百五十二于下，以上減下，余以乘上，滿二百七十一除之，為日食泛用刻、分。
求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以減三千九百，交中以減三千三百一十五，余為月食泛用刻、分。
求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得為日月食定用刻、分。
求日月食虧初復滿時刻：以定用刻分減食甚小余，為虧初小余；加食甚，為復滿小余；各滿辰法為辰數，不盡，滿刻法除之為刻數，不滿為分。命辰數從子正，算外，即得虧初、復末辰、刻及分。（若以半辰數加之，即命從時初也。）
求日月食初虧復滿方位：其日食在陽歷者，初食西南，甚于正南，復于東南；日在陰歷者，初食西北，甚于正北，復于東北。其食過八分者，皆初食正西，復于正東。其月食者，月在陰歷，初食東南，甚于正南，復于西南；月在陽歷，初食東北，甚于正北，復于西北。其食八分已上者，皆初食正東，復于正西。（此皆審其食甚所向，據午正而論之，其食余方察其斜正，則初虧、復滿乃可知矣。）
求月食更點定法：倍其望晨分，五而一，為更法；又五而一，為點法。（若依司辰星注歷，同內中更點，則倍晨分，減去待旦十刻之分，余，五而一，為更法；又五而一，為點法。）
求月食入更點：各置初虧、食甚、復滿小余，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者減去昏分，余以更法除之為更數，不滿，以點法除之為點數。其更數命初更，算外，即各得所入更、點。
求月食既內外刻分：置月食去交分，覆減食限三之一，（不及減者為食不既。）余列于上位；乃列三之二于下，以上減下，余以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，滿泛用刻分除之，為月食既內刻分；用減定用刻分，余為既外刻、分。
求日月帶食出入所見分數：視食甚小余在日出分以下者，為月見食甚、日不見食甚；以日出分減復滿小余，若食甚小余在日出分已上者，為日見食甚、月不見食甚；以初虧小余減日出分，各為帶食差；（若月食既者，以既內刻分減帶食差，余乘所食分，既外刻分而一，不及減者，即帶食既出入也。）以乘所食之分，滿定用刻分而一，即各為日帶食出、月帶食入所見之分。（凡虧初小余多如日出分為在晝，復滿小余多如日出分為在夜，不帶食出入也。）若食甚小余在日入分以下者，為日見食甚、月不見食甚；以日入分減復滿小余，若食甚小余在日入分已上者，為月見食甚、日不見食甚；以初虧小余減日入分，各為帶食差；（若月食既者，以既內刻分減帶食差，余乘所差分，既外刻分而一，不及減者，即帶食既出入也。）以乘所食之分，滿定用刻分而一，即各為日帶食入、月帶食出所見之分。（凡虧初小余多如日入分為在夜，復滿小余少如日入分為在晝，并不帶食出入也。）
步五星術
木星終率：一千五百五十五萬六千五百四。
終日：三百九十八日。（余三萬四千五百四，約分八千八百四十七。）
歷差：六萬一千七百五十。
見伏常度：一十四度。
火星終率：三千四十一萬七千五百三十六。
終日：七百七十九日。（余三萬六千五百三十六，約分九千三百六十八。）
歷差：六萬一千二百四十。
見伏常度：一十八度。
土星終率：一千四百七十四萬五千四百四十六。
終日：三百七十八。（余三千四百四十六，約分八百八十三。）
歷差：六萬一千三百五十。
見伏常度：一十八度半。
金星終率：二千二百七十七萬二千一百九十六。
終日：五百八十三日。（余三萬五千一百九十六，約分九千二十四。）
見伏常度：一十一度少。
水星終率：四百五十一萬九千一百八十四。（改九千一百九十四。）
終日：一百一十五日。（余三萬四千一百八十四，約分八千七百六十五。）
見伏常度：一十八度。
求五星天正冬至后諸段中積中星：置氣積分，各以其星終率去之，不盡，覆減終率，余滿元法為日，不滿，退除為分，即天正冬至后其星平合中積。重列之為中星，因命為前一段之初，以諸段變日、變度累加減之，即為諸段中星。（變日加減中積，變度加減中星。）
求木火土三星入歷：以其星歷差乘積年，滿周天分去之，不盡，以度母除之為度，不滿，退除為分，命曰差度；以減其星平合中星，即為平合入歷度分；以其星其段歷度加之，滿周天度分即去之，各得其星其段入歷度分。（金、水附日而行，更不求歷差。其木、火、土三星前變為晨，后變為夕。金、水二星前變為夕，后變為晨。）
求木火土三星諸段盈縮定差：木、土二星，置其星其段入歷度分，如半周天以下者為在盈。以上者，減去半周天，余為在縮。置盈縮度分，如在一象以下者為在初限。以上者，覆減半周天，余為在末限。置初、末限度及分于上，列半周天于下，以上減下，以下乘上，（木進一位，土九因之。）皆滿百為分，分滿百為度，命曰盈縮定差。其火星，置盈縮度分，如在初限以下者為在初。以上者，覆減半周天，余為在末。（以四十五度六十五分半為盈初、縮末限度，以一百三十六度九十六分半為縮初、盈末限度分。）置初、末限度于上，（盈初、縮末三因之。）列二百七十三度九十三分于下，以上減下，余以下乘上，以一十二乘之，滿百為度，不滿，百約為分，命曰盈縮定差。（若用立成法，以其度下損益率乘度下約分，滿百者，以損益其度下盈縮差度為盈縮定差，若在留退段者，即在盈縮泛差。）
求木火土三星留退差：置后退、后留盈縮泛差，各列其星盈縮極度于下，（木極度，八度三十三分；火極度，二十二度五十一分；土極度，七度五十分。）以上減下，余以下乘上，（水、土三因之，火倍之。）皆滿百為度，命曰留退差。（后退初半之，后留全用。）其留退差，在盈益減損加、在縮損減益加其段盈縮泛差，為后退、后留定差。（因為后遲初段定差，各須類會前留定差，觀其盈縮，察其降差也。）
求五星諸段定積：各置其星其段中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即其星其段定積及分；以天正冬至大余及約分加之，滿紀法去之，不盡，命甲子，算外，即得日辰。（其五星合見、伏，即為推算段定日；后求見、伏合定日，即歷注其日。）
求五星諸段所在月日：各置諸段定積，以天正閏日及約分加之，滿朔策及分去之，為月數；不滿，為入月以來日數及分。其月數命從天正十一月，算外，即其星其段入其月經朔日數及分。（定朔有進退者，亦進退其日，以日辰為定。若以氣策及約分去定積，命從冬至，算外，即得其段入氣日及分。）
求五星諸段加時定星：各置其星其段中星，以其段盈縮定差盈加縮減之，即五星諸段定星。若以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其段加時定星所在宿次。（五星皆以前留為前退初定星，后留為后順初定星。）
求五星諸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈縮定差與次度下盈縮定差相減，余為其度損益差；以乘其段初行率，一百約之，所得，以加減其段初行率，（在盈，益加損減；在縮，益減損加。）以一百乘之，為初行積分；又置一百分，亦依其數加減之，以除初行積分，為初日定行分。以乘其段初日約分，以一百約之，順減退加其段定星，為其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即得所求。（金、水二星，直以初行率便為初日定行分。）
求太陽盈縮度：各置其段定積，如二至限以下為在盈；以上者去之，余為在縮。又視入盈縮度，如一象以下者為在初；以上者，覆減二至限，余為在末。置初、末限度及分，如前日度術求之，即得所求。（若用立成者，直以其度下損益分乘度余，百約之，所得，損益其度下盈縮差，亦得所求。）
求諸段日度率：以二段日晨相距為日率，又以二段夜半定星相減，余為其段度率及分。
求諸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，為其段平行分。
求諸段泛差：各以其段平行分與后段平行分相減，余為泛差；并前段泛差，四因之，退一等，為其段總差。（五星前留前、后留后一段，皆以六因平行分，退一等，為其段總差，水星為半總差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，為其段總差。金星退行者，以其段泛差為總差，后變則反用初、末。水星退行者，以其段平行分為總差，若在前后順第一段者，乃半次段總差，為其段總差。）
求諸段初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，為其段初、末日行分。（前變加為初，減為末；后變減為初，加為末。其在退段者，前則減為初，加為末；后則加為初，減為末。若前后段行分多少不倫者，乃平注之；或總差不備大分者，亦平注之：皆類會前后初、末，不可失其衰殺。）
求諸段日差：減其段日率一，以除其段總差，為其段日差。（后行分少為損，后行分多為益。）
求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累損益之，為每日行分。以每日行分累加減其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。
徑求其日宿次：置所求日，減一，以乘日差，以加減初日行分，（后少，減之；后多，加之。）為所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日數乘之，為徑求積度；以加減其段初日宿次，命之，即徑求其日星宿次。
求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分減一百分，余以除其日太陽盈縮余為日，不滿，退除為分，命曰距合差日及分。以差日及分減太陽盈縮分，余為距合差度。以差日、差度盈減縮加。金、水二星平合者，以百分減初日行分，余以除其日太陽盈縮余為日，不滿，退除為分，命曰距合差日及分。以減太陽盈縮分，余為距合差度。以差日、差度盈加縮減。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太陽盈縮分為日，不滿，退除為分，命曰再合差日；以減太陽盈縮分，余為再合差度。以差日、差度盈加縮減。（差度則反其加減。）皆以加減定積，為再合定日。以天正冬至大余及約分加而命之，即得定合日辰。
求五星定見伏：木、火、土三星，各以其段初日行分減一百分，余以除其日太陽盈縮分為日，不滿，退除為分，以盈減縮加。金、水二星夕見、晨伏者，以一百分減初日行分，余以除其日太陽盈縮分為日，不滿，退除為分，以盈加縮減。其在晨見、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太陽盈縮分為日，不滿，退除為分，以盈減縮加。皆加減其段定積，為見、伏定日。以加冬至大余及約分，滿紀法去之，命從甲子，算外，即得五星見、伏定日日辰。
琮又論歷曰："古今之歷，必有術過于前人，而可以為萬世之法者，乃為勝也。若一行為《大衍歷》，議及略例，校正歷世，以求歷法強弱，為歷家體要，得中平之數。劉焯悟日行有盈縮之差。（舊歷推日行平行一度，至此方悟日行有盈縮，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有余，夏至前后日行不及一度。）李淳風悟定朔之法，并氣朔、閏余，皆同一術。（舊歷定朔平注一大一小，至此以日行盈縮、月行遲疾加減朔余，余為定朔、望加時，以定大小，不過三數。自此后日食在朔，月食在望，更無晦、二之差。舊歷皆須用章歲、章月之數，使閏余有差，淳風造《麟德歷》，以氣朔、閏余同歸一母。）張子信悟月行有交道表里，五星有入氣加減。（北齊學士張子信因葛榮亂，隱居海島三十余年，專以圓儀揆測天道，始悟月行有交道表里，在表為外道陽歷，在里為內道陰歷。月行在內道，則日有食之，月行在外道則無食。若月外之人北戶向日之地，則反觀有食。又舊歷五星率無盈縮，至是始悟五星皆有盈縮、加減之數。）宋何承天始悟測景以定氣序。（景極長，冬至；景極短，夏至。始立八尺之表，連測十余年，即知舊《景初歷》冬至常遲天三日。乃造《元嘉歷》，冬至加時比舊退減三日。）晉姜岌始悟以月食所沖之宿，為日所在之度。（日所在不知宿度，至此以月食之宿所沖，為日所在宿度。）后漢劉洪作《乾象歷》，始悟月行有遲疾數。（舊歷，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有遲疾之差，極遲則日行十二度強，極疾則日行十四度太，其遲疾極差五度有余。）宋祖沖之始悟歲差。（《書·堯典》曰："日短星昴，以正仲冬；宵中星虛，以殷仲秋。"至今三千余年，中星所差三十余度，則知每歲有漸差之數，造《大明歷》率四十五年九月而退差一度。）唐徐升作《宣明歷》，悟日食有氣、刻差數。（舊歷推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以氣刻差數增損之，測日食分數，稍近天驗。）《明天歷》悟日月會合為朔，所立日法，積年有自然之數，及立法推求晷景，知氣節加時所在。（自《元嘉歷》后所立日法，以四十九分之二十六為強率、以十七分之九為弱率，并強弱之數為日法、朔余，自后諸歷效之。殊不知日月會合為朔，并朔余虛分為日法，蓋自然之理。其氣節加時，晉、漢以來約而要取，有差半日，今立法推求，得盡其數。）后之造歷者，莫不遵用焉。其疏謬之甚者，即苗守信之《乾元歷》、馬重績之《調元歷》、郭紹之《五紀歷》也。大概無出于此矣。然造歷者，皆須會日月之行，以為晦朔之數，驗《春秋》日食，以明強弱。其于氣序，則取驗于《傳》之南至。其日行盈縮、月行遲疾、五星加減、二曜食差、日宿月離、中星晷景、立數立法，悉本之于前語。然后較驗，上自夏仲康五年九月"辰弗集于房"，以至于今，其星辰氣朔、日月交食等，使三千年間若應準繩。而有前有后、有親有疏者，即為中平之數，乃可施于后世。其較驗則依一行、孫思恭，取數多而不以少，得為親密。較日月交食，若一分二刻以下為親，二分四刻以下為近，三分五刻以上為遠。以歷注有食而天驗無食，或天驗有食而歷注無食者為失。其較星度，則以差天二度以下為親，三度以下為近，四度以上為遠；其較晷景尺寸，以二分以下為親，三分以下為近，四分以上為遠。若較古而得數多，又近于今，兼立法、立數，得其理而通于本者為最也。"琮自謂善歷，嘗曰："世之知歷者甚少，近世獨孫思恭為妙。"而思恭又嘗推劉羲叟為知歷焉。
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。