卷三十
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷十
○觀天歷
元祐《觀天歷》
演紀上元甲子，距元祐七年壬申，歲積五百九十四萬四千八百八算。（上考往古，每年減一；下驗將來，每年加二。）
步氣朔
統法：一萬二千三十。
歲周：四百三十九萬三千八百八十。
歲余：六萬三千八十。
氣策：一十五、余二千六百二十八、秒一十一。
朔實：三十五萬五千二百五十三。
朔策：二十九、余六千三百八十三。
望策：一十四、余九千二百六、秒一十八。
弦策：七、余四千六百三、秒九。
歲閏：一十三萬八百四十四。
中盈分：五千二百五十六、秒二十四。
朔虛分：五千六百四十七。
沒限分：九千四百二。
閏限：三十四萬四千三百四十九、秒一十二。
旬周：七十二萬一千八百。
紀法：六十。
以上秒母同三十六。
推天正冬至：置距所求積年，以歲周乘之，為氣積分；滿旬周去之，不盡，以統法約之為大余，不滿為小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正冬至日辰及余。
求次氣：置天正冬至大、小余，以氣策及余秒累加之，（秒盈秒法從小余一，小余盈統法從大余一，大余盈紀法去之。）命甲子，算外，即各得次氣日辰及余秒。
推天正經朔：置天正冬至氣積分，以朔實去之，不盡為閏余；以減天正冬至氣積分，余為天正十一月經朔加時積分；滿旬周去之，不盡，以統法約之為大余，不滿為小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正十一月經朔日辰及余。
求弦望及次朔經日：置天正十一月經朔大、小余，以弦策累加之，去命如前，即各得弦、望及次朔經日及余秒。
求沒日：置有沒之氣小余，以三百六十乘之，其秒進一位，從之，用減歲周，余滿歲余除之為日，不滿為余。其日，命其氣初日日辰，算外，即為其氣沒日日辰。（凡氣小余在沒限以上者，為有沒之氣。）
求滅日：置有滅之朔小余，以三十乘之，滿朔虛分除之為日，不滿為余。其日命其月經朔初日日辰，算外，即為其月滅日日辰。（凡經朔小余不滿朔虛分者，為有滅之朔。）
步發斂
候策：五、余八百七十六、秒四。
卦策：六、余一千五十一、秒一十二。
土王策：三、余五百二十五、秒二十四。
月閏：一萬九百三、秒二十四。
辰法：二千五。
半辰法：一千二半。
刻法：一千三百三。
秒母：三十六。
推七十二候：各因中節大、小余命之，為初候；以候策加之，為次候；又加之，為末候。
求六十四卦：各因中氣大、小余命之，為初卦用事日；以卦策加之，為中卦用事日；又加之，得終卦用事日。以土王策加諸侯內卦，得十有二節之初外卦用事日；又加之，得大夫卦用事日；復以卦策加之，得卿卦用事日。
推五行用事：各因四立之節大、小余命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策減四季中氣大、小余，命甲子，算外，為其月土始用事日。
求中氣去經朔：置天正冬至閏余，以月閏累加之，滿統法約之為日，不盡為余，即各得每月中氣去經朔日及余秒。（其閏余滿閏限者，為月內有閏也；仍定其朔內無中氣者為閏月。）
求卦候去經朔：以卦、候策累加減中氣，去經朔日及余，（中氣前，減；中氣后，加。）即各得卦、候去經朔日及余秒。
求發斂加時：倍所求小余，以辰法除之為辰數，不滿，五因之，滿刻法為刻，不滿為余。其辰數命子正，算外，即各得所求加時辰、刻及分。
步日躔
周天分：四百三十九萬四千三十四、秒五十七。
周天度：三百六十五、余三千八十四、秒五十七。
歲差：一百五十四、秒五十七。
二至限日：一百八十二、余七千四百八十。
冬至后盈初夏至后縮末限日：八十八、余一萬九百五十八。
夏至后縮初冬至后盈末限日：九十三、余八千五百五十二。
求每日盈縮分：置入二至后全日，各在初限已下為初限；已上，用減二至限，余為末限。列初、末限日及分于上，倍初、末限日及約分于下，相減相乘。求盈縮分者，在盈初、縮末，以三千二百九十四除之。在盈末、縮初，以三千六百五十九除之，皆為度，不滿，退除為分秒。求朏朒積者，各退二位，在盈初縮末，以三百六十六而一；在盈末縮初，以四百七而一，各得所求。以盈縮相減，余為升降分；（盈初縮末為升，縮初盈末為降。）以朏朒積相減，余為損益率。（在初為益，在末為損。）
求經朔弦望入盈縮限：置天正閏日及余，減縮末限日及余，為天正十一月經朔入縮末限日及余；以弦策累加之，滿盈縮限日去之，即各得弦望及次朔入盈縮限日及余秒。
求經朔弦望朏朒定數：各置所入盈縮限日小余，以其日下損益率乘之，如統法而一，所得，損益其下朏朒積為定數。
求定氣：冬夏二至以常氣為定氣。自后，以其氣限日下盈縮分盈加縮減常氣約余，即為所求之氣定日及分秒。
赤道宿度
斗：二十六 牛：八 女：十二 虛：十少（秒六十四）
危：十七 室：十六 壁：九
北方七宿九十八度少、秒六十四。
奎：十六 婁：十二 胃：十四 昴：十一
畢：十七 觜：一 參：十
西方七宿八十一度。
井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七
張：十八 翼：十八 軫：十七
南方七宿一百一十一度。
角：十二 亢：九 氐：十五。 房：五
心：五 尾：十八 箕：十一
東方七宿七十五度。
前皆赤道宿度，與古不同。自《大衍歷》依渾儀測為定，用纮帶天中，儀極攸憑，以格黃道。
推天正冬至加時赤道日度：以歲差乘所求積年，滿周天分去之，不盡，用減周天分，余以統法除之為度，不滿為余。命起赤道虛宿四度外去之，至不滿宿，即為所求年天正冬至加時赤道日度及余秒。
求夏至赤道日度：置天正冬至加時赤道日度，以二至限及余加之，滿赤道宿次去之，即得夏至加時赤道日度及余秒。（因求后昏后夜半赤道日度者，以二至小余減統法，余以加二至赤道日度之余，即二至初日昏后夜半赤道日度，以每日累加一度，去命如前，各得所求。）
求二十八宿赤道積度：置二至加時日躔赤道全度，以二至加時赤道日度及約分減之，余為距后度。以赤道宿次累加之，即得二十八宿赤道積度及分秒。
求二十八宿赤道積度入初末限：各置赤道積度及分秒，滿象限九十一度三十一分、秒九即去之，若在四十五度六十五分、秒五十四半已下為初限；已上，用減象限，余為末限。
求二十八宿黃道度：各置赤道宿入初、末限度及分，三之，為限分。用減四百，余以限分乘之，一萬二千而一為度，命曰黃赤道差。至后以減、分后以加赤道宿積度，為黃道積度；以前宿黃道積度減之，余為二十八宿黃道度及分。（其分就近約為太、半、少，若二至之宿不足減者，即加二至限，然后減之，余依術算。）
黃道宿度
斗：二十三半 牛：七半 女：十一半 虛：十少（秒六十四。）
危：十七太 室：十七少 壁：九太
北方七宿九十七度半、秒六十四。
奎：十七太 婁：十二太 胃：十四半 昴：十一太
畢：十六 觜：一 參：九少
西方七宿八十二度。
井：三十 鬼：二太 柳：十四少 星：七
張：十八太 翼：十九半 軫：十八太
南方七宿一百一十一度。
角：十三 亢：九半 氐：十五半 房：五
心：四太 尾：十七 箕：十
東方七宿七十四度太。
前黃道宿度，乃依今歷歲差變定。若上考往古，下驗將來，當據歲差，每移一度，依歷推變，然后可步七曜，知其所在。
求天正冬至加時黃道日度：置天正冬至加時赤道日度及約分，三之，為限分；用減四百，余以限分乘之，一萬二千而一為度，命曰黃赤道差；用減天正冬至加時赤道日度及分，即為所求年天正冬至加時黃道日度及分。（夏至日度，準此求之。）
求二至初日晨前夜半黃道日度：置一萬分，以其日升降分升加降減之，以乘二至小余，如統法而一，所得，以減二至加時黃道日度，余為二至初日晨前夜半黃道日度及分。
求每日晨前夜半黃道日度：置二至初日晨前夜半黃道日度及分，每日加一度，百約其日下升降分，升加降減之，滿黃道宿次去之，即各得二至后每日晨前夜半黃道日度及分。
求太陽過宮日時刻：置黃道過宮宿度，以其日晨前夜半黃道宿度及分減之，余以統法乘之，如其太陽行分而一，為加時小余；如發斂求之，即得太陽過宮日、時、刻及分。
黃道過宮（太史局吳澤等補治有此一段，開封進士吳時舉、國學進士程憙、常州百姓張文進本并無之。）
危宿十五度少，入衛之分，亥。 奎宿三度半，入魯之分，戌。
胃宿五度半，入趙之分，酉。 畢宿十度半，入晉之分，申。
井宿十二度，入秦之分，未。 柳宿七度半，入周之分，午。
張宿十七度少，入楚之分，巳。 軫宿十二度，入鄭之分，辰。
氐宿三度少，入宋之分，卯。 尾宿八度，入燕之分，寅。
斗宿九度，入吳之分，丑。 女宿六度少，入齊之分，子。
步月離
轉周分：三十三萬一千四百八十二、秒三百八十九。
轉周日：二十七、余六千六百七十二、秒三百八十九。
朔差日：一、余一萬一千七百四十、秒九千六百一十一。
弦策：七、余四千六百三、秒二千五百。
望策：一十四、余九千二百六、秒五千。
以上秒母同一萬。
七日：初數一萬六百九十，初約八十九；末數一千三百四十，末約一十一。
十四日：初數九千三百五十一，初約七十八；末數二千六百七十九，末約二十二。
二十一日：初數八千一十一，初約六十七；末數四千一十九，末約三十三。
二十八日：初數六千六百七十二，初約五十五。
上弦：九十一度三十一分、秒四十一。
望：一百八十二度六十二分、秒八十二。
下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。
平行：一十三度三十六分、秒八十七半。
以上秒母同一百。
求天正十一月經朔加時入轉：置天正十一月經朔加時積分，以轉周分秒去之，不盡，以統法約之為日，不滿為余。命日，算外，即得所求年天正十一月經朔加時入轉日及余秒。（若以朔差日及余秒加之，滿轉周日及余秒去之，即次朔加時入轉日及余秒。各以其月經朔小余減之，余為其月經朔夜半入轉。）
求弦望入轉：因天正十一月經朔加時入轉日及余秒，以弦策累加之，去命如前，即得弦、望入轉日及余秒。求朔弦望入轉朏朒定數：置入轉余，乘其日算外損益率，如統法而一，所得，以損益其下朏朒積為定數。其在四七日下余如初數已下，初率乘之，初數而一，以損益其下朏朒積為定數。若初數已上者，以初數減之，余乘末率，末數而一，用減初率，余加其日下朏朒積為定數。（其十四日下余若在初數已上者，初數減之，余乘末率，末數而一，便為朏定數。）
求朔弦望定日、各以入限、入轉朏朒定數，朏減朒加經朔、弦、望小余，滿若不足，進退大余，命甲子，算外。各得定日及余。若定朔干名與后朔干名同者月大，不同者月小，其月內無中氣者為閏月。（凡注歷，觀定朔小余，秋分后在統法四分之三已上者，進一日；若春分后定朔晨昏差如春分之日者，三約之，用減四分之三；定朔小余在此數已上者，亦進一日；或當交虧初在日入已前者，其朔不進。弦、望定小余不滿日出分者，退一日；望若有交，虧初在日出分已前者，其定望小余雖滿日出分，亦退一日。又有月行九道遲疾，歷有三大二小者；依盈縮累增損之，則有四大三小，理數然也。若俯循常儀，當察加時早晚，隨其所近而進退之，使不過三大二小。）
求定朔弦望加時日度：置定朔、弦、望約分，副之，以乘其日升降分，一萬約之，所得，升加降減其副，以加其日夜半日度，命如前，各得定朔、弦、望加時日躔黃道宿度及分秒。
求月行九道：凡合朔初交，冬入陰歷，夏入陽歷，月行青道。（冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，出黃道東；立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，出黃道東南：至所沖之宿亦如之。）冬入陽歷，夏入陰歷，月行白道。（冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，出黃道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，出黃道西北；至所沖之宿亦如之。）春入陽歷，秋入陰歷，月行朱道。（春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，出黃道南；立夏、立秋后，朱道半交在立夏之宿，出黃道西南：至所沖之宿亦如之。）春入陰歷，秋入陽歷，月行黑道。（春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，出黃道北；立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，出黃道東北：至所沖之宿亦如之。）四序離為八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行有九道。各視月行所入正交積度，滿交象去之，（入交積度及交象度，并在交會術中。）若在半交象已下為初限；已上，覆減交象，余為末限。置初、末限度及分，三之，為限分；用減四百，余以限分乘之，二萬四千而一為度，命曰月道與黃道差數。距正交后、半交前，以差數加；距半交后、正交前，以差數減。（此加減出入黃道六度，單與黃道相校之數，若校赤道，則隨氣遷變不常。）仍計去冬、夏二至已來度數，乘差數，如九十而一，為月道與赤道差數。（凡日以赤道內為陰，外為陽；月以黃道內為陰，外為陽。故月行宿度，入春分交后行陰歷，秋分交后行陽歷，皆為同名；入春分交后行陽歷，秋分交后行陰歷，皆為異名。）其在同名者，以差數加者加之，減者減之；其在異名者，以差數加者減之，減者加之。二差皆增益黃道宿積度，為九道宿積度；以前宿九道積度減之，為其宿九道度及分秒。（其分就近約之為太、半、少。）
求月行九道平交入氣：各以其月閏日及余，加經朔加時入交泛日及余秒，盈交終日及余秒去之，乃減交終日及余秒。即各得平交入其月中氣日及余秒；若滿氣策即去之，余為平交入后月節氣日及余秒。（若求朏朒定數，如求朔、望朏朒術入之，即得所求。）
求平交入轉朏朒定數：置所入氣余，加其日夜半入轉余，乘其日算外損益率，如統法而一，所得，以損益其下朏朒積，乃以交率乘之，交數而一，為定數。
求正交入氣：以平交入氣、入轉朏朒定數，朏減朒加平交入氣余，滿若不足，進退其日，即正交入氣日及余秒。
求正交加時黃道日度：置正交入氣余，副之，以乘其日升降分，一萬約之，升加降減其副，乃以一百乘之，如統法而一，以加其日夜半日度，即正交加時黃道日度及分秒。
求正交加時月離九道宿度：置正交度加時黃道日及分，三之，為限分。用減四百，余以限分乘之，二萬四千而一，命曰月道與黃道差數。以加黃道宿度，仍計去冬、夏二至已來度數，以乘差數，如九十而一，為月道與赤道差數。同名以加，異名以減，二差皆增損正交度，即正交加時月離九道宿度及分秒。
求定朔弦望加時月離黃道宿度：置定朔、弦、望加時日躔黃道宿度及分，凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是為加時月度。各以弦、望度加其所當日度，滿黃道宿次去之，即各得定朔、弦、望加時月離黃道宿度及分秒。
求定朔弦望加時月離九道宿度：置定朔、弦、望加時月離黃道宿度及分秒，加前宿正交后黃道積度，如前求九道術入之，以前定宿正交后九道積度減之，余為定朔、弦、望加時月離九道宿度及分秒。（凡合朔加時，若非正交，即日在黃道、月在九道所入宿度。雖多少不同，考其去極，若應繩準，故曰加時九道。）
求定朔午中入轉：各視經朔夜半入轉日及余秒，以半法加之，若定朔及余有進退者，亦進退轉日，否則因經為定。（因求次日，累加一日，滿轉周日及余秒去之，即每日午中入轉。）
求晨昏月度：以晨分乘其日算外轉定分，如統法而一，為晨轉分；用減轉定分，余為昏轉分；乃以朔、弦、望小余乘其日算外轉定分，如統法而一，為加時分；以減晨昏轉分，余為前；不足減者，覆減之，余為后；以前加后減定朔、弦、望月度，即晨、昏月所在度。
求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月減上弦昏定月，余為朔后昏定程；以上弦昏定月減望昏定月，余為上弦后昏定程；以望晨定月減下弦晨定月，余為望后晨定程；以下弦晨定月減后朔晨定月，余為下弦后晨定程。
求每日轉定度數：累計每程相距日轉定分，以減定程，余為盈；不足減者，覆減之，余為縮；以相距日除之，所得，盈加縮減每日轉定分，為每日轉定度及分秒。
求每日晨昏月：置朔、弦、望晨昏月，以每日轉定度及分加之，滿宿次去之，為每日晨昏月。（凡注歷，自朔日注昏月，望后一日注晨月。）已前月度并依九道所推，以究算術之精微，如求速要，即依后術求之。
求天正十一月經朔加時平行月：置歲周，以天正閏余減之，余以統法約之為度，不滿，退除為分秒，即天正十一月經朔加時平行月積度及分秒。
求天正十一月定朔夜半平行月：置天正經朔小余，以平行月度分秒乘之，如統法而一為度，不滿，退除為分秒，以減天正十一月經朔加時平行月積度，即天正十一月經朔晨前夜半平行月。其定朔大余有進退者，亦進退平行度，否則因經為定，即天正十一月定朔晨前夜半平行月積度及分秒。
求次定朔夜半平行月：置天正十一月定朔晨前夜半平行月積度及分秒，大月加三十五度八十分、秒六十一，小月加二十二度四十三分、秒七十三半，滿周天度及約分、秒去之，即得次定朔晨前夜半平行月積度及分秒。
求弦望定日夜半平行月：各計朔、弦、望相距之日，乘平行度及分秒，以加其月定朔晨前夜半平行月積度及分秒，即其月弦望定日晨前夜半平行月積度及分秒。
求定朔晨前夜半入轉：置其月經朔晨前夜半入轉日及余秒，若定朔大余有進退者，亦進退轉日，否則因經為定，其余如統法退除為分秒，即得其月定朔晨前夜半入轉日及分秒。（因求次日，累加一日，滿轉周二十七日五十五分、秒四十六去之，即每日晨前夜半入轉。）
求定朔弦望晨前夜半定月：置定朔、弦、望晨前夜半入轉分，乘其日算外增減差，百約為分，分滿百為度，增減其下遲疾度，為遲疾定度；遲減疾加定朔、弦、望晨前夜半平行月積度及分秒，以天正冬至加時黃道日度加而命之，即各得定朔、弦、望晨前夜半月離宿度及分秒。（如求每日晨、昏月，依前術入之，即得所求。）
步晷漏
二至限：一百八十二日六十二分。
一象：九十一日三十一分。
消息法：九千七百三。
半法：六千一十五。
辰法：二十五。
半辰法：一十二半。
刻法：一千二百二。
辰刻：八、余四百一。
昏明分：三百太。
昏明刻：二、余六百一半。
冬至岳臺晷影常數：一丈二尺八寸五分。
夏至岳臺晷影常數：一尺五寸七分。
冬至后初限夏至后末限：四十五日、六十二分。
冬至后末限夏至后初限：一百三十七日、空分。
求岳臺晷影入二至后日數：計入二至以來日數，以二至約分減之，乃加半日之分五十，即入二至后來午中日數及分。
求岳臺午中晷影定數：置入二至后日及分，如初限已下者為初；已上，覆減二至限，余為末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日入分減一千九百三十七半，為泛差。仍以入限日及分乘其日盈縮積，（其盈縮積者，以入盈縮限日及分與二百相減相乘，為盈縮積也。）五因百約，用減泛差，為定差；乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，滿一百萬為尺，不滿為寸、分，以減冬至岳臺晷影常數，余為其日午中晷影定數。其在冬至后末限、夏至后初限者，以三約入限日及分，減四百八十五少，為泛差；仍以盈縮差度減去極度，余者春分后、秋分前，四約，以加泛差，為定差。春分前、秋分后，以去二分日數乘之，六百而一，以減泛差，為定差。乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，滿一百萬為尺，不滿為寸分，以加夏至岳臺晷影常數，為其日午中晷影定數。
求每日午中定積日：置其日午中入二至后來日數及分，以其日盈縮分盈加縮減之，即每日午中定積日及分。
求每日午中消息定數：置定積日及分，在一象已下自相乘，已上，用減二至限，余亦自相乘，七因，進二位，以消息法除之，為消息常數；副置之，用減六百一半，余以乘其副，以二千六百七十除之，以加常數，為消息定數。（冬至后為息，夏至后為消。）
求每日黃道去極度：置其日消息定數，十六乘之，滿四百一除之為度，不滿，退除為分，春分后加六十七度三十一分，秋分后減一百一十五度三十一分，即每日午中黃道去極度及分。
求每日太陽去赤道內外度：置其日黃道去極度及分，與一象度相減，余為太陽去赤道內、外度及分。（去極多為日在赤道外，去極少為日在赤道內。）
求每日晨昏分及日出入分半晝分。置其日消息定數，春分后加二千一百少，秋分后減三千三百八少，各為其日晨分；用減統法，余為昏分。以昏明分加晨分，為日出分；減昏分，為日入分；以日出分減半法，余為半晝分。
求每日距中度：置其日晨分，進位，十四因之，以四千六百一十一除之為度，不滿，退除為分，即距子度。用減半周天，余為距中度；五而一，為每更差數。
求每日夜半定漏：置晨分，進一位，如刻法而一為刻，不滿為刻分，即每日夜半定漏。
求每日晝夜刻及日出入辰刻：置夜半定漏，倍之，加五刻，為夜刻。減百刻，為晝刻。以昏明刻加夜半定漏，命子正，算外，得日出辰刻。以晝刻加之，命如前，即日入辰刻。（其辰數依發斂術求之。）
求更點辰刻：置其日夜半定漏，倍之，二十五而一為籌差；半之，進位，為更差。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更籌差累加之，滿辰刻及分去之，各得每更籌所在辰刻及分。（若用司辰漏者，倍夜半定漏，減去待旦十刻，余依術算，即得內中更籌也。）
求每日昏曉中星及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即得其日昏中星所格宿次，命之曰初更中星。以每更差度加而命之，即乙夜中星。以更差度累加之，去命如前，即五更及曉中星。（若依司辰星漏倍距子度，減去待旦三十六度五十二分半，余依術求更點差度，即內中昏曉五更及攢點中星也。）
求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳臺北，測冬至后與岳臺冬至晷影同者，累冬至后至其日，為距差日。若地在岳臺南，測夏至后與岳臺晷影同者，累夏至后至其日，為距差日。
求九服晷影：若地在岳臺北冬至前后者，以冬至前后日數減距差日，為余日。以余日減一千九百三十七半，為泛差。依前術求之，以加岳臺冬至晷影常數，為其地其日午中晷影定數。冬至前后日多于距差日者，乃減去距差日，余依法求之，即得其地其日午中晷影定數。若地在岳臺南夏至前后者，以夏至前后日數減距差日，為余日。乃三約之，以減四百八十五少，為泛差。依前術求之，以減岳臺夏至晷影常數，即其地其日午中晷影定數。如夏至前后日數多于距差日，乃減去距差日，余依法求之，即得其地其日午中晷影定數，即晷在表南也。
求九服所在晝夜漏刻：各于所在下水漏，以定二至夜刻，乃相減，余為二至差刻。乃置岳臺其日消息定數，以其處二至差刻乘之，如岳臺二至差刻二十除之，所得為其地其日消息定數。乃倍消息定數，進位，滿刻法約之為刻，不滿為分，以加減其處二至夜刻，（春分后、秋分前，以加夏至夜刻；秋分后、春分前，以減冬至夜刻。）為其地其日夜刻；以減百刻，余為晝刻。（求日出入差刻及五更中星，并依岳臺法求之。）
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。