卷三十一
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷十一
○觀天歷
步交會
交終分：三十二萬七千三百六十一、秒九千九百四十四。
交終日：二十七、余二千五百五十一、秒九千九百四十四。
交中日：一十三、余七千二百九十、秒九千九百七十二。
朔差日：二、余三千八百三十一、秒五十六。
望策：一十四、余九千二百六、秒五千。
后限日：一、余一千九百一十五、秒五千二十八。
前限日：一十二、余五千三百七十五、秒四千九百四十四。
以上秒母同一萬。
交率：一百八十三。
交數：二千三百三十一。
交終度：三百六十三分七十六。
交中度：一百八十一分八十八。
交象度：九十分九十四。
半交象度：四十五分四十七。
陽歷食限：四千九百，定法四百九十。
陰歷食限：七千九百，定法七百九十。
求天正十一月經朔加時入交泛日：置天正十一月經朔加時積分，以交終分及秒去之，不盡，滿統法為日，不滿為余秒，即天正十一月經朔加時入交泛日及余秒。
求次朔及望加時入交泛日：置天正經朔加時入交泛日及余秒，求次朔，以朔差加之。求望，以望策加之，滿交終日及余秒去之。即次朔及望加時入交泛日及余秒。若以經朔小余減之，余為夜半入交泛日。
求定朔望夜半入交泛日：置經朔、望夜半入交泛日，若定朔、望大余有進退者，亦進退交日，否則因經為定，即定朔望夜半入交泛日及余秒。
求次朔夜半入交泛日：置定朔夜半入交泛日及余秒，大月加二日，小月加一日，余皆加九千四百七十八、秒五十六，求次日，累加一日，滿交終日及余秒去之，即次定朔及每日夜半入交泛日及余秒。
求朔望加時入交常日：置經朔、望入交泛日及余秒，以其朔、望入盈縮限朏朒定數朏減朒加之，即朔、望加時入交常日及余秒。
求朔望加時入交定日：置其朔、望入轉朏朒定數，以交率乘之，交數而一，所得，以朏減朒加入交常日及余秒，滿與不足，進退其日，即朔、望加時入交定日及余秒。
求月行入陰陽歷：置其朔、望入交定日及余秒，在交中已下為月行陽歷；已上去之，余為月行陰歷。
求朔望加時月行入陰陽歷積度：置月行入陰陽歷日及余秒，以統法通日，內余，九而一為分，分滿百為度，即朔望加時月行入陰陽歷積度及分。
求朔望加時月去黃道度：置入陰陽歷積度及分，如交象已下為入少象；已上，覆減交中度，余為入老象。皆列于上，下列交中度，相減相乘，進位，如一百三十八而一，為泛差。又視入老、少象度，如半交象已下為初；已上去之，余為末。皆二因，退位，初減末加泛差，滿百為度，即朔、望加時月去黃道度及分。
求日月食甚定余：置定朔小余，如半統法已下，與半統法相減相乘，如三萬六千九十而一為時差，以減。如半統法已上減去半統法，余亦與半統法相減相乘，如一萬八千四十五而一為時差，午前以減，午后以加，皆加、減定朔小余，為日食甚小余。與半法相減，余為午前、后分。其月食者，以定望小余為月食甚小余。
求日月食甚辰刻：各置食甚小余，倍之，以辰法除之為辰數，不滿，五因，滿刻法而一為刻，不滿為分。其辰數命子正，算外，即食甚辰刻及分。若加半辰，即命起子初。
求氣差：置其朔盈、縮限度及分，自相乘，進二位，盈初、縮末一百九十七而一，盈末、縮初二百一十九而一，皆用減四千一十，為氣泛差。以乘午前、后分，如半晝分而一，所得，以減泛差，為定差。（春分后，交初以減，交中以加；秋分后，交初以加，交中以減。如食在夜，反用之。）
求刻差：置其朔盈、縮限度及分，與半周天相減相乘，進二位，二百九而一，為刻泛差。以乘午前、后分，如三千七百半而一，為定差。（冬至后午前、夏至后午后，交初以加，交中以減。冬至后午后、夏至后午前，交初以減，交中以加。）
求日入食限交前后分：置朔入交定日及余秒，以氣、刻、時三差各加減之，如交中日已下為不食；已上去之，如后限已下為交后分；前限已上覆減交中日，余為交前分。
求日食分：置交前后分，如陽歷食限已下為陽歷食定分；已上，用減一萬二千八百，余為陰歷食定分。（如不足減者，日不食。）各如定法而一為大分，不盡，退除為小分。小分半已上為半強，已下為半弱。命大分以十為限，即得日食之分。
求日食泛用分：置日食定分，退二位，列于上，在陽歷列九十八于下，在陰歷列一百五十八于下，各相減相乘，陽以二百五十而一，陰以六百五十而一，各為日食泛用分。
求月入食限交前后分：置望月行入陰陽歷日及余秒，如后限已下為交后分。前限已上覆減交中日，余為交前分。
求月食分：置交前后分，如三千七百已下，為食既；已上，覆減一萬一千七百，（不足減者為不食。）余以八百而一為大分，不盡，退除為小分。小分半已上為半強，已下為半弱。命大分以十為限，即得月食之分。
求月食泛用分：置望交前、后分，自相乘，退二位，交初以一千一百三十八而一，用減一千二百三，交中以一千二百六十四而一，用減一千八十三，各為月食泛用分。
求日月食定用分：置日月食泛用分，以一千三百三十七乘之，以定朔、望入轉算外轉定分而一，所得，為日月食定用分。
求日月食虧初復滿小余：置日月食甚小余，以定用分減之，為虧初；加之，為復滿：即各得所求小余。（若求辰刻，依食甚術入之。）
求月食更籌法：置望辰分，四因，退位，為更法；五除之，為籌法。
求月食入更籌：置虧初、食甚、復滿小余，在晨分已下加晨分，昏分已上減去昏分，皆以更法除之為更數，不盡，以籌法除之為籌數。其更、籌數命初更，算外，即各得所入更、籌。
求日月食甚宿次：置朔、望之日晨前夜半黃道日度及分，以統法約日月食甚小余，加之，內月食更加半周天，各依宿次去之，即日月食甚所在宿次。
求月食既內外刻分：置月食交前、后分，覆減三千七百，（如不足減者，為食不既。）退二位，列于上，下列七十四，相減相乘，進位，如三十七而一，所得以定用分乘之，如泛用分而一，為既內分；以減定用分，余為既外分。
求日月帶食出入所見之分：各以食甚小余與日出、入分相減，余為帶食差。（其帶食差在定用分已上，為不帶食出入。）以乘所食之分，滿定用分而一，（若月食既者，以既內分減帶食差，余乘所食之分，如既外分而一，所得，以減既分，如不足減者，為帶食既出入。）以減所食之分，余為帶食出、入所見之分。
求日食所起：日在陽歷，初起西南，甚于正南，復滿東南；日在陰歷，初起西北，甚于正北，復滿東北。其食八分已上者，皆起正西，復滿正東。（此據午地而論之，當審黃道斜正可知。）
求月食所起：月在陽歷，初起東北，甚于正北，復滿西北；月在陰歷，初起東南，甚于正南，復滿西南。其食八分已上者，皆起正東，復滿正西。（此據午地而論之，當審黃道斜正可知。）
步五星
五星歷策：一十五度、約分二十一、秒九十。
木星周率：四百七十九萬八千五百二十六、秒九十二。
周日：三百九十八、余一萬五百八十六、秒九十二。
歲差：一百一十六、秒七十二。
伏見度：一十三半。
木星盈縮歷
火星周率：九百三十八萬二千五百六十、秒七十六。
周日：七百七十九、余一萬一千一百九十、秒七十六。
歲差：一百一十六、秒一十三。
伏見度：一十八。
火星盈縮歷
土星周率：四百五十四萬八千四百三十一、秒八十五。
周日：三百七十八、余一千九十一、秒八十五。
歲差：一百一十六、秒三十。
伏見度：一十六半。
土星盈縮歷
金星周率：七百二萬四千三百二十一、秒三十四。
周日：五百八十三、余一萬八百三十一、秒三十四。
歲差：一百一十六、秒六十九。
伏見度：一十一半。金星盈縮歷
水星周率：一百三十九萬四千二、秒七。
周日：一百一十五、余一萬五百五十二、秒七。
歲差：一百一十六、秒四十。
夕見晨伏度：一十五。
晨見夕伏度：二十一。
水星盈縮歷
求五星天正冬至后平合中積中星：置天正冬至氣積分，各以其星周率去之，不盡，用減周率，余滿統法約之為度，不滿，退除為分秒，命之為平合中積。因而重列之為平合中星，各以前段變日加平合中積，又以前段變度加平合中星，其經退行者即減之，各得五星諸變中積中星。
求五星入歷：各以其星歲差乘所求積年，滿周天分去之，不盡，以統法約之為度，不滿，退除為分秒，以減平合中星，為平合入歷度及分秒。求諸變者，各以前段限度累加之，為五星諸變入歷度及分秒。
求五星諸變盈縮定差：各置其星其變入歷度及分秒，如半周天已下為盈，已上去之為縮。以五星歷策度除之為策數，不盡，為入策度及分秒。以其策下損益率乘之，如歷策而一為分，分滿百為度，以損益其下盈縮積度，即五星諸段盈縮定差。
求五星平合及諸變定積：各置其星其變中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即其段定積日及分。以天正冬至大余及約分加之，滿統法去之，不盡，命甲子，算外，即定日辰及分。
求五星諸變入所在月日：各置其星其變定積，以天正閏日及約分加之，滿朔策及約分除之為月數，不盡，為入月已來日數。命月數起天正十一月，算外，即其星其段入其月經朔日數及分。乃以其朔日、辰相距，即所在月、日。
求五星平合及諸變加時定星：各置其星其變中星，以盈縮定差盈加縮減之，內金倍之，水三之，然后加減，即五星諸段定星。以天正冬至加時黃道日度加時命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。（五星皆因留為后段初日定星，余依術算。）
求五星諸變初日晨前夜半定星：各以其段初行率乘其段加時分，百約之，以順減退加其日加時定星，即為其星其段初日晨前夜半定星。加命如前，即得所求。
求諸變日率度率：各以其段日辰距至后段日辰為其段日率；以其段夜半定星與后段夜半定星相減，余為其段度率。
求諸變平行分：各置其段度率，以其段日率除之，為其段平行度及分秒。
求諸變總差：各以其段平行分與后段平行分相減，余為泛差。并前段泛差，四因，退一位，為總差。若前段無平行分相減為泛差者，因后段初日行分與其段平行分相減，為半總差，倍之，為總差。若后段無平行分相減為泛差者，因前段末日行分與其段平行分相減，為半總差，倍之，為總差。其在再行者，以本段平行分十四乘之，十五而一，為總差。內金星依順段術求之。
求初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，（后行分少，加之為初，減之為末；后行分多，減之為初，加之為末。退行者，前段減之為初，加之為末；后段加之為初，減之為末。）為其星其段初、末日行分。
求每日晨前夜半星行宿次：置其段總差，減日率一以除之，為日差；累損益初日行分，（后行分少，損之；后行分多，益之。）為每日行度及分秒；乃順加退減其星其段初日晨前夜半定星，命之，即每日夜半星行所在宿次。
徑求其日宿次：置所求日，減一，半之，以日差乘而加減初日行分，（后行分少，減之；后行分多，加之算。）以所求日乘之，為積度；以順加退減其星其段初日夜半宿次，即所求日夜半宿次。
求五星合見伏行差：木、火、土三星，以其段初日星行分減太陽行分，為行差。金、水二星順行者，以其段初日太陽行分減星行分，為行差。金、水二星退行者，以其段初日星行分并太陽行分，為行差。內水星夕伏、晨見，直以太陽行分為行差。
求五星定合見伏泛用積：木、火、土三星，各以平合晨疾、夕伏定積，便為定合見、伏泛用積。金、水二星各置其段盈縮定差，內水星倍之，以其段行差除之為日，不滿，退除為分，在平合夕見、晨伏者，盈減縮加定積，為定合見、伏泛用積；在退合夕伏、晨見者，盈加縮減定積，為定合見、伏泛用積。
求五星定合積定星：木、火、土三星，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日。以盈縮分減之，為距合差度。以差日、差度盈減縮加其星定合泛用積，為其星定合定積、定星。金、水二星順合者，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日。以盈縮分加之，為距合差度；以差日、差度盈加縮積其星定合泛用積，為其星定合定積、定星。金、水二星退合者，以平合行差除其日盈縮分，為距合差日；以減盈縮減之分，為距合差度；以差日盈減縮加，以差度盈加縮減再定合泛用積，為其星再定合定積、定星。各以天正冬至大余及約分加定積，滿統法去之，命甲子，算外，即得定合日辰。以天正冬至加時黃道日度加定星，依宿次去之，即得定合所在宿次。
求五星定見伏定積：木、火、土三星以泛用積晨加、夕減一象，如半周天已下自相乘，已上，覆減一周天，余亦自相乘，七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，十五而一為差，如其段行差除之為日，不滿，退除為分，見加伏減泛用積，為其星定見、伏定積。金、水二星以行差除其日盈縮分為日，在夕見、晨伏，盈加縮減泛用積，為常用積；夕伏、晨見，盈減縮加泛用積，為常用積；如常用積在半周天已下為冬至后；已上去之，余為夏至后。各在一象已下自相乘，已上，覆減一周天，余亦自相乘，冬至后晨、夏至后夕，以十八而一；冬至后夕、夏至后晨，以七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，十五而一為差，如其段行差除之為日，不滿，退除為分，冬至后晨見、夕伏，夏至后夕見、晨伏，以加常用積，為其星定見、伏定積；冬至后夕見、晨伏，夏至后晨見、夕伏，以減常用積，為其星定見、伏定積。加命如前，即得定見、伏日辰。
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。