卷三十三
元代：脫脫、阿魯圖等
◎律歷十三
○紀元歷
步交會
交終分：一十九萬八千三百七十七、秒八百八十。
交終日：二十七、余一千五百四十七、秒八百八十。
交中日：一十三、余四千四百一十八、秒五千四百四十。
朔差日：二、余二千三百二十、秒九千一百二十。
望策：一十四、余五千五百七十九。
已上秒母一萬。
交率：三百二十四。
交數：四千一百二十七。
交終度：三百六十三、約分七十九、秒四十四。
交中度：一百八十一、約分八十九、秒七十二。
交象度：九十、約分九十四、秒八十六。
半交象度：四十五、約分四十七、秒四十三。
日食陽歷限：三千四百，定法三百四十。
陰歷限：四千三百，定法四百三十。
月食限：六千八百，定法四百四十。
已上分秒母各同一百。
推天正十一月經朔加時入交：置天正十一月經朔加時積分，以交終分及秒去之，不盡，滿日法為日，不滿為余秒，即天正十一月經朔加時入交泛日及余秒。
求次朔及望入交：置天正十一月經朔加時入交泛日及余秒，求次朔，以朔差加之；求望，以望策加之：滿交終日及余秒去之，即各得次朔及望加時入交泛日及余秒。（若以經朔、望小余減之，各得朔、望夜半入交泛日及余秒。）
求定朔望夜半入交：因經朔、望夜半入交泛日及余秒，視定朔、望日辰有進退者，亦進退交日，否則因經為定，各得所求。
求次定朔夜半入交：各因定朔夜半入交泛日及余秒，大月加二日，小月加一日，余皆加五千七百四十二、秒九千一百二十，即次朔夜半入交；若求次日，累加一日：滿交終日及余秒皆去之，即每日夜半入交泛日及余秒。
求定朔望加時入交：置經朔、望加時入交泛日及余秒，以入氣、入轉朏朒定數朏減朒加之，即得定朔、望加時入交泛日及余秒。
求定朔望加時月行入交積度：置定朔、望加時入交泛日及余秒，以日法通日，內余，進一位，如五千四百五十三而一為度，不滿，退除為分，即定朔、望加時月行入交積度及分。（每日夜半，準此求之。）
求定朔望加時月行入交定積度：置定朔、望加時月行入交積度及分，以定朔、望加時入轉遲疾度遲減疾加之，（滿與不足，進退交終度及分。）即定朔、望加時月行入交定積度及分。（每日夜半，準此求之。）
求定朔望加時月行入陰陽歷積度：置定朔、望加時月行入交定積度及分，如在交中度及分已下為入陽歷積度；已上者去之，余為入陰歷積度。（每日夜半，準此求之。）
求定朔望加時月去黃道度：視月入陰陽歷積度及分，如交象已下為在少象；已上，覆減交中度，余為入老象。置所入老、少象度及分于上，列交象度于下，以上減下，余以乘上，五百而一，所得，用減所入老、少象度及分，余，列交中度于下，以上減下，余以乘上，滿一千三百七十五而一，所得為度，不滿，退除為分，即為定朔、望加時月去黃道度及分。（每日夜半，準此求之。）
求朔望加時入交常日：置其月經朔、望加時入交泛日及余秒，以其月入氣朏朒定數朏減朒加之，滿與不足，進退其日，即得朔、望加時入交常日及余秒。（近交初為交初，在二十六日、二十七日為交初；近交中為交中，在十三日、十四日為交中。）
求日月食甚定數：以其朔望入氣、入轉朏朒定數，同名相從，異名相消，副置之；以定朔、望加時入轉算外損益率乘之，如日法而一，（其定朔、望如算外在四七日者，視其余在初數已下，初率乘之，初數而一；初數已上，以末率乘之，末數而一。）所得，視入轉，應朒者依其損益，應朏者益減損加其副；以朏減朒加經朔望小余，為泛余。（滿與不足，進退大余。）日食者視泛余，如半法已下，為中前；列半法于下，以上減下，余以乘上，如一萬九百三十五而一，所得，為差；以減泛余，為食甚定余；用減半法，為午前分。如泛余在半法已上，減去半法，為中后；列半法于下。以上減下，余以乘上，如日法而一，所得，為差；以加泛余，為食甚定余；乃減去半法，為午后分。月食者視泛余，如半法已上減去半法，余在一千八百二十二半已下自相乘，已上者，覆減半法，余亦自相乘，如三萬而一，所得，以減泛余，為食甚定余；如泛余不滿半法，在日出分三分之二已下，列于上位，已上者，用減日出分，余倍之，亦列于上位，乃四因三約日出分，列之于下，以上減下，余以乘上，如一萬五千而一，所得，以加泛余，為食甚定余。
求日月食甚辰刻：倍食甚定余，以辰法除之為辰數，不盡，五因之，滿刻法除之為刻，不滿為分。命辰數起子正，算外，即食甚辰刻及分。（若加半辰，命起子初。）
求日月食甚入氣：（食甚大、小余及食定小余，并定朔、望大余，以此與經朔望大、小余相減。）置其朔望食甚大、小余，與經朔望大、小余相減之，余以加減經朔望入氣日余，（經朔望少即加之，多即減之。）為日、月食甚入氣日及余秒。各置食甚入氣及余秒，加其氣中積，其余，以日法退除為分，即為日、月食甚中積及分。
求日月食甚日行積度：置食甚入氣余，以所入氣日盈縮分乘之，日法而一，加減其日先后數，（至后加，分后減。）先加后減日、月食甚中積，即為日、月食甚日行積度及分。
求氣差：置日食甚日行積度及分，滿二至限去之，余在象限已下為在初；已上，覆減二至限，余為在末。皆自相乘，進二位，滿三百四十三而一，所得，用減二千四百三十，余為氣差；以午前、后分乘之。如半晝分而一，以減氣差，為氣差定數。在冬至后末限、夏至后初限，（交初以減，交中以加。）夏至后末限、冬至后初限，（交初以加，交中以減。）如半晝分而一，所得，在氣差已上者，即以氣差覆減之，余應加者為減，減者為加。
求刻差：置日食甚日行積度及分，滿二至限去之，余列二至限于下，以上減下，余以乘上，進二位，滿三百四十三而一，所得為刻差。以午前、后分乘而倍之，如半法而一，為刻差定數。冬至后食甚在午前，夏至后食甚在午后，（交初以加，交中以減。）冬至后食甚在午后，夏至后食甚在午前，（交初以減，交中以加。）如半法而一，所得在刻差已上者，即倍刻差，以所得之數減之，余為刻差定數，依其加減。
求朔入交定日：置朔入交常日及余秒，以氣、刻差定數各加減之，交初加三千一百，交中減三千，為朔入交定日及余秒。
求望入交定日：置望入轉朏朒定數，以交率乘之，如交數而一，所得，以朏減朒加入交常日之余，滿與不足，進退其日，即望入交定日及余秒。
求月行入陰陽歷：視其朔、望入交定日及余秒，如在中日及余秒已下為月在陽歷；如中日及余秒已上，減去中日，為月在陰歷。
求入食限交前后分：視其朔、望月行入陰陽歷，不滿日者為交后分；在十三日上下者覆減交中日，為交前分；視交前、后分各在食限已下者為入食限。
求日食分：以交前、后分各減陰陽歷食限，余如定法而一，為日食之大分；不盡，退除為小分。命大分以十為限，即得日食之分。（其食不及大分者，行勢稍近交道，光氣微有映蔽，其日或食或不食。）
求月食分：視其望交前、后分，如二千四百已下者，食既；已上，用減食限，余如定法而一，為月食之大分；不盡，退除為小分。命大分以十為限，得月食之分。
求日食泛用分：置交前、后分，自相乘，退二位，陽歷一百九十八而一，陰歷三百一十七而一，所得，用減五百八十三，余為日食泛用分。
求月食泛用分：置交前、后分，自相乘，退二位，如七百四而一，所得，用減六百五十六，余為月食泛用分。
求日月食定用分：置日、月食泛用分，副之，以食甚加時入轉算外損益率乘之，如日法而一，（如算外在四、七日者，依食定余求之。）所得，應朒者依其損益，應朏者益減損加其副，即為日月食定用分。
求月食既內外分：置月食交前、后分，自相乘，退二位，如二百四十九而一，所得，用減二百三十一，余以定用分乘之，如泛用分而一，為月食既內分；用減定用分，余為既外分。
求日月食虧初復滿小余：置日、月食甚小余，各以定用分減之，為虧初；加之，為復滿；其月食既者，以既內分減之，為初既；加之，為生光：即各得所求小余。（如求時刻，依食甚術入之。）
求月食更點法：置月食甚所入日晨分，倍之，減去七百二十九，余五約之，為更法；又五除之，為點法。
求月食入更點：置虧初、食甚、復末小余，在晨分已下加晨分，昏分已上減去昏分，余以更法除之為更數，不滿，以點法除之為點數。其更數命初更，算外，即各得所入更、點。
求日食所起：日在陽歷，初起西南，甚于正南，復于東南；日在陰歷，初起西北，甚于正北，復于東北。其食八分已上，皆起正西，復于正東。（此據午地而論之。）
求月食所起：月在陽歷，初起東北，甚于正北，復于西北；月在陰歷，初起東南，甚于正南，復于西南。其食八分已上，皆起正東，復于正西。（此亦據午地而論之。）
求日月出入帶食所見分數：各以食甚小余與日出、入分相減，余為帶食差；以乘所食之分，滿定用分而一，（如月食既者，以既內分減帶食差，余進一位，如既外分而一，所得，以減既分，即月帶食出入所見之分，不及減者，為帶食既出入。）以減所食分，即日月出、入帶食所見之分。（其食甚在晝，晨為漸進，昏為已退；其食甚在夜，晨為已退，昏為漸進。）
求日月食甚宿次：置食甚日行積度，（望即更加半周天。）以天正冬至加時黃道日度加而命之，即各得日、月食甚宿度及分。
步五星
木星周率：二百九十萬七千八百七十九、秒六十四。
周差：二十四萬五千二百五十三、秒六十四。
歷率：二百六十六萬二千六百三十六、秒二十二。
周日：三百九十八、約分八十八、秒六十。
歷度：三百六十五、約分二十四、秒五十。
歷中度：一百八十五、約分六十二、秒二十五。
歷策度：一十五、約分二十一、秒八十五。
伏見度：一十三。
木星盈縮歷
火星周率：五百六十八萬五千六百八十七、秒六十四。
周差：三十六萬四百一十四、秒四十四。
歷率：二百六十六萬二千六百四十七、秒二十。
周日：七百七十九、約分九十二、秒九十七。
歷度：三百六十五、約分二十四、秒六十五。
歷中度：一百八十二、約分六十二、秒三十二半。
歷策度：二十五、約分二十一、秒八十六。
伏見度：一十九。
火星盈縮歷
土星周率：二百七十五萬六千二百八十八、秒七十八。
周差：九萬三千六百六十二、秒七十八。
歷率：二百六十六萬九千九百二十五、秒九十。
周日：三百七十八、約分九、秒一十七。
歷度：三百六十六、約分二十四、秒四十九。
歷中度：一百八十三、約分一十二、秒二十四半。
歷策度：一十五、約分二十六、秒二。
伏見度：一十七。
土星盈縮歷
金星周率：四百二十五萬六千六百五十一、秒四十三半。
合日：二百九十一、約分九十五、秒一十四。
歷率：二百六十六萬二千六百九十六、秒一十六。
周日：五百八十三、約分九十、秒二十八。
歷度：三百六十五、約分二十五、秒三十二。
歷中度：一百八十二、約分六十二、秒六十六。
歷策度：一十五、約分二十一、秒八十九。
伏見度：一十半。
金星盈縮歷
水星周率：八十四萬四千七百三十八、秒五。
合日：五十七、約分九十三、秒八十一。
歷率：二百六十六萬二千七百九十四、秒九十五。
周日：一百一十五、約分八十七、秒六十二。
歷度：三百六十五、約分二十六、秒六十八。
歷中度：一百八十二、約分六十三、秒三十四。
歷策度：一十五、約分二十一、秒九十四半。
晨伏夕見：一十四。
夕伏晨見：一十九。
水星盈縮歷
推五星天正冬至后平合及諸段中積中星：置氣積分，各以其星周率除之，所得周數。不盡者，為前合。以減周率，余滿日法為日，不滿，退除為分、秒，即其星天正冬至后平合中積；命之為平合中星，以諸段常日、常度累加之，即諸段中積、中星。其段退行者，以常度減之，即其段中星。
求木火土三星平合諸段入歷：置其星周數，（求冬至后合，皆加一數置之。）以周差乘之，滿其星歷率去之，不盡，滿日法為度，不滿，退除為分、秒，即為其星平合入歷度及分、秒。以其段限度依次累加之，即得諸段入歷。
求金水二星平合及諸段入歷：置氣積分，各以其星歷率去之，不盡，滿日法除之為度，不滿，退除為分、秒，以加平合中星，即為其星天正冬至后平合入歷度及分、秒；以其星其段限度依次累加之，即得諸段入歷。
求五星平合及諸段盈縮定差：各置其星其段入歷度及分，如歷中已下為在盈；已上減去歷中，余為在縮；以其星歷策除之為策數，不盡，為入策度及分；命策數，算外，以其策損益率乘之，如歷策而一為分，分滿百為度；以損益其下盈縮積，即其星其段盈縮定差。
求五星平合及諸段定積：各置其星其段中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即其段定積日及分；以天正冬至大余及約分加之，即為定日及分；盈紀法六十去之，不盡，命己卯，算外，即得日辰。
求五星平合諸段所在月日：各置其段定積，以天正閏日及約分加之，滿朔策及約分除之為月數，不盡，為入月已來日數及分。其月數命天正十一月，算外，即其星其段入其月經朔日數及分，乃以日辰相距為定朔月、日。
求五星平合及諸段加時定星：各置其段中星，以其段盈縮定差盈加縮減之，（金星倍之水星三之，乃可加減。）即五星諸段定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。五星皆因前留為前段初日定星，后留為后段初日定星，余依術算。
求五星諸段初日晨前夜半定星：各以其段初行率乘其段加時分，百約之，乃以順減退加其日加時定星，即為其段初日晨前夜半定星；加命如前，即得所求。
求諸段日率度率：各以其段日辰距至后段日辰，為其段日率；以其段夜半定星與后段夜半定星相減，為其段度率及分秒。
求諸段平行度：各置其段度率及分秒，以其段日率除之，為其段平行度及分秒。
求諸段總差：各以其段平行分與后段平行分相減，余為泛差；并前段泛差，四因，退一位，為總差。若前段無平行分相減為泛差者，因后段初日行分與其段平行分相減，余為半總差；倍之，為總差。若后段無平行分相減為泛差者，因前段末日行分與其段平行分相減，余為半總差，倍之，為總差。晨遲末段，視段無平行分，因前初段末日行分與晨遲末段平行分相減，為半總差；其退行者，各置本段平行分，十四乘之，十五而一，為總差。內金星依順段術入之，即得所求。（夕遲初段，視前段無平行分，因后末段初日行分與夕遲初段平行分相減，為半總差。）
求諸段初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，（后段平行分多者，減之為初，加之為末；后段平行分少者，加之為初，減之為末。其在退行者，前減之為初，加之為末；后加之為初，減之為末。）各為其星其段初、末日行度及分秒。（如前后段平行分俱多、俱少者，平注之；本段總差不滿大分者，亦平注之。）
求每日晨前夜半星行宿次：置其段總差，減日率一以除之，為日差；累損益初日行分，（后行分少，損之；后行分多，益之。）為每日行度及分秒；乃順加退減其段初日晨前夜半宿次命之，即每日晨前夜半星行所在宿次。
徑求其日宿次：置所求日，減一，半之，以日差乘而加減初行日分，（后行分少，減之；后行分多，加之。）以所求日乘之，為積度；乃順加退減其段初日宿次，即得所求日宿次。
求五星平合及見伏入氣：置定積，以氣策及約分除之為氣數，不盡，為入氣已來日數及分秒。其氣數命天正冬至，算外，即五星平合及見、伏入氣日及分秒。（其定積滿歲周日及分，去之，余，在來年冬至后。）
求五星合見伏行差：木、火、土三星，以其段初日星行分減太陽行分，余為行差。金、水二星順行者，以其段初日太陽行分減星行分，余為行差。金、水二星退行者，以其段初日星行分并太陽行分，為行差。
求五星定合及見伏泛積：木、火、土三星，各以平合晨疾、夕伏定積，便為定合定見、定伏泛積。金、水二星，各置其段盈縮定差，內水星倍之，以其段行差除之為日，不滿，退除為分秒，在平合夕疾、晨伏者，乃盈減縮加定積，為定合定見、定伏泛積；在退合夕伏、晨見者，用盈加縮減定積，為定合定見、定伏泛積。
求五星定合定積定星：木、火、土三星，以平合行差除其日先后數，為距合差日；以先后數減之，為距合差度；以差日、差度后加先減其星定合泛積，為其星定合日定積、定星。金、水二星順合者，以平合行差除其日先后數，為距合差日；以先后數加之，為距合差度；以差日、差度先加后減其星定合泛積，為其星定合日定積、定星。金、水二星退合者，以退合行差除其日先后數，為距合差日；以減先后數，為距合差度；以差日先減后加，以差度先加后減再定合泛積，為其星再定合積星。各以冬至大余及約分加定積，滿紀法去之，命己卯，算外，即得定合日辰；以冬至加時黃道日度加定星，依宿次去之，即得定合所在宿次。
求木火土三星定見伏定積日：各置其星定見、伏泛積，晨加夕減象限日及分秒，如二至限已下自相乘，已上，覆減歲周，余亦自相乘，百約為分，以其星伏見度乘之，十五除之，為差；其差如其段行差而一為日，不滿，退除為分、秒，見加伏減泛積，為定積；如前加命，即得日辰。
求金水二星定見伏定日：夕見、晨伏，以行差除其日先后數，為日；先加后減泛用積，為常用積。晨見、夕伏，以行差除其日先后數，為日；先減后加泛用積，為常用積。如常用積在二至限已下為冬至后；已上去之，余為夏至后。其二至后日及分在象限已下自相乘，已上，用減二至限，余亦自相乘，如法而一，所得為分；（冬至后晨，夏至后夕，以十八為法；冬至后夕、夏至后晨，以七十五為法。）以伏見度乘之、十五除之，為差；滿行差而一為日，不滿，退除為分秒，加減常用積，為定用積；加命如前，即得定見、伏日辰。（冬至后，晨見、夕伏加之，夕見、晨伏減之；夏至后，晨見、夕伏減之，夕見、晨伏加之。）其水星，夕疾在大暑氣初日至立冬氣九日三十五分已下者，不見；晨留在大寒氣初日至立夏氣九日三十五分已下者，春不晨見，秋不夕見。
熙寧六年六月，提舉司天監陳繹言："渾儀尺度與《法要》不合，二極、赤道四分不均，規、環左右距度不對，游儀重澀難運，黃道映蔽橫簫，游規璺裂，黃道不合天體，天樞內極星不見。天文院渾儀尺度及二極、赤道四分各不均，黃道、天常環、月道映蔽橫簫，及月道不與天合，天常環相攻難轉，天樞內極星不見。皆當因舊修整，新定渾儀，改用古尺，均賦辰度，規、環輕利，黃赤道、天常環并側置，以北際當天度，省去月道，令不蔽橫蕭，增天樞為二度半，以納極星，規、環、二極，各設環樞，以便游運。"詔依新式制造，置于司天監測驗，以較疏密。七年六月，司天監呈新制渾儀、浮漏于迎陽門，帝召輔臣觀之，數問同提舉官沈括，具對所以改更之理。尋又言："準詔，集監官較其疏密，無可比較。"詔置于翰林天文院。七月，以括為右正言，司天秋官正皇甫愈等賞有差。初，括上《渾儀》、《浮漏》、《景表》三議，見《天文志》。朝延用其說，令改造法物、歷書。至是，渾儀、浮漏成，故賞之。
元豐五年正月，翰林學士王安禮言："詳定渾儀官歐陽發所上渾儀、浮漏木樣，具新器之宜，變舊器之失，臣等竊詳司天監浮漏，疏謬不可用，請依新式改造。其至道、皇祐渾儀、景表亦各差舛，請如法條奏修正。"從之。元祐四年三月，翰林學士許將等言："詳定元祐渾天儀象所先奉詔制造水運渾儀木樣，如試驗候天不差，即別造銅器，今校驗皆與天合。"詔以銅造，仍以元祐渾天儀象為名。將等又言："前所謂渾天儀者，其外形圓，可遍布星度；其內有璣、有衡，可仰窺天象。今所建渾儀象，別為二器，而渾儀占測天度之真數，又以渾象置之密室，自為天運，與儀參合。若并為一器，即象為儀，以同正天度，則渾天儀象兩得之矣。請更作渾天儀。"從之，七年四月，詔尚書左丞蘇頌撰《渾天儀象銘》。六月，元祐渾天儀象成，詔三省、樞密院官閱之。紹圣元年十月，詔禮部、秘書省，即詳定制造渾天儀象所，以新舊渾儀集局官同測驗，擇其精密可用者以聞。
宣和六年七月，宰臣王黼言：
臣崇寧元年邂逅方外之士于京師，自云王其姓，面出素書一，道璣衡之制甚詳。比嘗請令應奉司造小樣驗之，逾二月，乃成璇璣，其圓如丸，具三百六十五度四分度之一，置南北極、昆侖山及黃、赤二道，列二十四氣、七十二候、六十四卦、十干、十二支、晝夜百刻，列二十八宿、并內外三垣、周天星。日月循黃道天行，每天左旋一周，日右旋一度，冬至南出赤道二十四度，夏至北入赤道二十四度，春秋二分黃、赤道交而出卯入酉。月行十三度有余，生明于西，其形如鉤，下環，西見半規，及望而圓；既望，西缺下環，東見半規，及晦而隱。某星始見，某星已中，某星將入，或左或右，或遲或速，皆與天象吻合，無纖毫差。玉衡植于屏外，持扼樞斗，注水激輪，其下為機輪四十有三，鉤鍵交錯相持，次第運轉，不假人力，多者日行二千九百二十八齒，少者五日行一齒，疾徐相遠如此，而同發于一機，其密殆與造物者侔焉。自余悉如唐一行之制。
然一行舊制機關，皆用銅鐵為之，澀即不能自運，今制改以堅木若美玉之類。舊制外絡二輪，以綴日月，而二輪蔽虧星度，仰視躔次不審，今制日月皆附黃道，如蟻行硙上。舊制雖有合望，而月體常圓，上下弦無辨，今以機轉之，使圓缺隱見悉合天象。舊制止有候刻辰鐘鼓，晝夜短長與日出入更籌之度，皆不能辨，今制為司辰壽星，運十二時輪，所至時刻，以手指之，又為燭龍，承以銅荷，時正吐珠振荷，循環自運。其制皆出一行之外。即其器觀之，全象天體者，璇璣也；運用水斗者，玉衡也。昔人或謂璣衡為渾天儀，或謂有璣而無衡者為渾天象，或謂渾儀望筒為衡：皆非也。甚者莫知璣衡為何器。唯鄭康成以運轉者為璣，持正者為衡，以今制考之，其說最近。
又月之晦明，自昔弗燭厥理，獨揚雄云："月未望則載魄于西，既望則終魄于東，其溯于日乎？"京房云："月有形無光，日照之乃光。"始知月本無光，溯日以為光。本朝沈括用彈況月，粉涂其半，以象對日之光，正側視之，始盡圓缺之形。今制與三者之說若合符節。宜命有司置局如樣制，相址于明堂或合臺之內，筑臺陳之，以測上象。又別制三器，一納御府，一置鐘鼓院，一備車駕行幸所用。仍著為成書，以詔萬世。
詔以討論制造璣衡所為名，命黼總領，內侍梁師成副之。
脫脫
脫脫（1314年－1355年），亦作托克托、脫脫帖木兒，蔑里乞氏，字大用，蒙古族蔑兒乞人，元朝末年政治家、軍事家。元朝元統二年（1334年），任同知宣政院事，遷中政使、同知樞密院事、御史大夫、中書右丞相。至元六年（1340年）農歷十月脫脫為中書右丞相，大改伯顏舊政，復科舉取士。至正十一年（1351年）修黃河民工起義，鎮壓抗元紅巾軍。于至正十五年（1355年），革職流放云南，后被中書平章政事哈麻假傳元惠宗詔令自盡。至正二十二年（1362年）昭雪復官。